К.ф.м.н., профессор, Кузьмичева А.Е, старший преподаватель Орлова Л.Г, магистрант Серикова Р.М

Западно-Казахстанский государственный университет им. М. Утемисова,

г. Уральск, Казахстан

Знак «минус» в физике и математике.

Физика- одна из наиболее развитых естественных наук. Ее содержание включает несколько фундаментальных теорий. Их основанием являются наблюдения, опыты, эксперименты, а развитие и формирование связано с применением математического аппарата. Математическое «число» используется для количественного выражения физических величин, над которыми затем производятся различные математические операции. Взаимные связи физических величин, выраженные в физических формулах позволили ввести производные единицы их измерения. Физика не только использует математический аппарат, но и способствует его развитию. Известно, что дифференциальное и интегральное исчислении И.Ньютон разработал для решения физических задач. Современная теоретическая физика-это фундаментальные физические эксперименты и сложнейший математический аппарат. Здесь уже можно говорить не только о межпредметных связях физики с математикой, а «срастанием» их в нечто единое.

С использованием математики в физике, учащиеся сталкиваются с самого начала изучения этого предмета. Это многим дается далеко не просто. Возникают различные проблемы. Одна из них знак «минус» в физике. Роль знака «минус» в физике, выполняемые им функции, неоднозначны. Это вызывает трудности у обучаемых. Неоднозначность роли минуса можно видеть на следующих примерах:

· Шкала температур по Цельсия имеют «нуль», который можно сопоставить с нулем на математической оси. Учащимся понятно, что температура t=-20 °С меньше (ниже), чем t=+20 °С. Отрицательные температуры по этой шкале- это температуры ниже температуры, при которой замерзает вода или тает лед.

· Второй пример сложнее для понимания учащихся. В задачах механики встречается отрицательная скорость. Как это понимать? Можно ли сказать, что скорость «-20 м/с» меньше скорости «+20 м/с», или здесь что то другое?

Действительно – другое. Речь идет о направлении движения. Скорость-величина векторная. В математике, векторы «b» и «-b» одинаковы по модулю, но противоположены по направлению. Следовательно, когда говорят об отрицательной скорости, имеют в виду, что рассматриваемый объект движется в направлении, противоположном направлению, принятому за положительное. При использовании координатного метода, отрицательная скорость-это скорость движения в направлении, противоположном выбранному направлению оси х.

· Ускорение - количественная характеристика быстроты изменения скорости. Это тоже векторная величина, и о ней тоже часто говорят как о положительной или отрицательной. В СОШ изучается равноускоренное движение, широко используется формула v=v₀+at .На вопрос о замедленном движении, обучаемые нередко утверждают, что это движение с отрицательным ускорением. В условии некоторых задач указывается, что тело движется с ускорением «- 2 м/с²». Решение предполагает анализ замедленного движения. Всегда ли так? Всегда ли движение с отрицательным ускорением является замедленным?

Рассмотрим примеры:

v=2+4t (1) v=2-4t (3)

v=-2-4t (2) v=-2+4t (4)

Во всех случаях по модулю начальная скорость равна 2 м/с, ускорение равно 4 м/с², но знаки различны. Какие из уравнений соответствуют ускоренному движению, какие- замедленному? Чаще всего обучаемые и не только школьники, но и студенты, ускоренным называют движение с уравнением (1) и (4), обращая внимание на то, что в этих уравнениях ускорение положительно. Но ответ правилен только в отношении уравнения (1). Как избежать ошибки? При изучении характера движения, внимание обучаемых, в первую очередь, должно быть обращено на то одинаковое или различное направление имеют ускорение и скорость. И тогда станет понятным, что равноускоренное движение описывается уравнением (1) и (2). При этом уравнение (1) соответствует ускоренному движению в направлении принятом за положительное, а уравнение (2) – ускоренное движение в направлении обратном тому, которое принято за положительное. Уравнения (3) и (4) соответствуют замедленному движению: (3)-в направлении, принятом за положительное, (4)-в направлении противоположном, принятому за положительное.

Примечание: дальнейшее решение задач с замедленным движением, с постоянным ускорением, может быть значительно сложнее, чем с ускоренным. При постоянном ускорении, противоположном направлению скорости, через некоторое время скорость достигнет нуля и тело начнет двигаться ускоренно в обратном направлении.

· Еще одна векторная величина в физике - сила. Ей тоже приписывают знаки «плюс» и «минус». При изучении движения за положительное направление обычно принимается направление движения. Со знаком «минус»- сила противоположного направления, то есть сила, препятствующая движению. Такой силой всегда является сила трения сопротивления.

Интерес представляет и знак силы взаимодействия. Взаимодействие может быть притяжением и отталкивание. В физической науке принимается силы притяжения F_прит<0, силы отталкивания F_отталк>0.Наглядно это видно на взаимодействии электрических зарядов: F= . Разноименные, разных знаков, заряды притягиваются F<0, одноименные, одинакового знака, отталкиваются F>0. С другими видами взаимодействия объяснение знака силы сложнее, но результат тот же: F>0- отталкивание, F<0 -притяжение.

· Со знаком «минус» может оказаться работа силы: А=FScos α, α-угол между направлением силы и направлением движения. Если , то соs α<0, следовательно А<0. Что это означает? В формуле работы Fcos α =F_x, проекция силы на линию движения (ось х). Она оказывается противоположна направлению движения и следовательно своей работой препятствует движению. В частности, для сил трения, сопротивления всегда, следовательно работа этих сил отрицательна всегда.

Силы, перпендикулярные скорости движения (), работы не совершают, кинетическую энергию тела не изменяют.

Может ли одна и та же сила совершать положительную, отрицательную или равную нулю работу? Может. Примером такой силы является сила тяжести. Если тело свободно падает, направления движения и силы тяжести совпадают, ,если тело брошено вверх, А, если движется по горизонтальному положению А=0.

· Со знаком работы учащиеся сталкиваются и в термодинамике - при вычислении работы газа. Работу совершает сила давления. Она всегда перпендикулярна к поверхности, ограничивающей объем газа. Если газ расширяется (объем V₂>V₁)преодолевая внешние силы, работа газа А>0, если объем газа уменьшается (V₂ < V₁),газ сжимается, то сделать это могут только внешние силы. Сам газ сжиматься не может, но он своим давлением препятствует действию внешних сил, направлению сжатия, следовательно совершает отрицательную работу.

· Затруднения у обучаемых вызывает и отрицательная теплоемкость. По определению теплоемкость С= (C=), то есть - количество теплоты, которую необходимо передать телу или отнять от него, чтобы изменить температуру на один градус. Учащиеся из своего опыта знают, что при получении теплоты тела обычно нагреваются, а, отдавая тепло, охлаждаются. Из формулы: ; .В обоих случаях теплоемкость С > 0. Но может ли нагревание тела (∆)сопровождаться понижением температуры (<0)? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вернуться к формуле определяющей теплоемкость. В ней ∆Q=∆U+A. Изменение температуры связано только с изменением внутренней энергии. Поэтому вышеприведенные рассуждения, строго говоря, могут относиться только к случаю, когда при нагревании или охлаждении, работа не совершается, А=0; Все получаемое или отдаваемое тепло определяет только изменение внутренней энергии. Если при нагревании или охлаждении совершается работа, то изменение внутренней энергии (изменение температуры) будет зависеть не только от теплообмена, но и от совершаемой работы. Может ли получение системой теплоты, сопровождаться уменьшением внутренней энергии? Может, если одновременно с получением теплоты система совершает работу расширения. Но тогда теплоемкость может стать отрицательной, если полученное количество теплоты меньше работы расширения, так как часть работы будет совершаться за счет внутренней энергии. Точно так же, если система отдает теплоту (Q), и одновременно внешние силы совершают работу по ее сжатию, работа этих сил может оказаться больше отданного количества теплоты. В этом случае температура повысится за счет энергии, переданной системе при работе внешних сил. Таким образом понимание того, что изменение температуры связано только с изменением внутренней энергии и использование первого начала термодинамики дают возможность дать школьникам понятие отрицательной теплоемкости.

· Знак «минус» используется и в оптике. Например, основной характеристикой линзы является ее фокусное расстояние (F).У линзы их два. Фокусам приписываются знаки _.Знак «минус» может быть приписан и расстоянию от линзы до изображения, если оно находится от линзы по ту же сторону, что и предмет. Знак фокусного расстояния зависит от того, какой фокус используется при построении изображения. Поэтому общая формула линзы у рассеивающей линзы имеет вид если a<F. В этой формуле знак минус выделен из символов: F <0 => –F, b <0 => –b.

· Во всех рассмотренных случаях, знак минус имеет вполне определенный, достаточно понятный смысл. Сложнее обстоит дело со знаками электрических зарядов. На начальном этапе было обнаружено, что заряды бывают двух видов. Им условно приписали знаки «+» и «-». Знак заряда учитывают при исследовании различных процессов электричества и магнетизма. К наличию знака электрического заряда мы привыкаем. Однако, следует обратить внимание на то, что мы понимаем, что такое заряд тела, как недостаток или избыток электронов по сравнению с протонами. Но физическая наука, определяя заряд, как внутреннее свойство элементарных частиц, не может объяснить природу этого свойства, чем отличается положительный заряд элементарной частицы от отрицательной и т.п.

Внимание к содержанию, смыслу знаков минус и плюс в физике, на наш взгляд должно способствовать более глубокому усвоению самого предмета. Полезным может быть и напоминание учащимся об истории введения знака минус в математике, которая так же не проста. История развития математики показывает, что отрицательные числа значительно труднее дались человеку, чем положительные. Это связано с тем, что они менее связаны с практической жизнью. Отрицательные числа возникли в связи с необходимостью выполнения математических операций с известными (положительными) числами. Математики древней Греции не признали отрицательных чисел, они не могли дать им конкретного толкования. Лишь в работах Диофанта (3 в. н.э) встречаются преобразования, которые приводят к необходимости выполнения операций над отрицательными числами. Довольно широкое распространение они получили в работах индийских ученых. Положительные числа они называли настоящими, а отрицательные- не настоящими- ложными. Отрицательные числа рассматривали, как долг, а положительные числа как наличные деньги.

Введение отрицательных чисел, естественно, ставило проблему выполнения над ними простейших математических операций. Первые правила сложения и вычитания принадлежат индийским ученым, в связи с трактовкой этих чисел как имущество и долг. Ученые долго не могли объяснить, дать трактовку произведения двух отрицательных чисел. Если считать, что при умножении отрицательных чисел произведение положительно, то в трактовке «долг умножить на долг» получается положительное число, то есть «имущество», что было непонятным. Приданию смысла, объяснение правила произведения чисел, уделяли внимание многие ученые.

Понятие отрицательного числа и математических операций с ним, формировалось в течении столетий. Так в 1544 г немецкий ученый М. Штифель впервые дал определение отрицательных чисел, как чисел меньших нуля и подчеркивает аналогию между введением отрицательных и иррациональных чисел. В 1737г Рене Декарт в книге «Аналитическая геометрия» отрицательное число рассматривал как самостоятельное число, расположенное на оси ОХ влево от начала координат. Однако он эти числа назвал ложными. Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине 19 века, так отрицательные числа вошли в историю математики. После появления аналитической геометрии геометрическое истолкование отрицательных чисел, как координат точек на оси получило широкое распространение. Интересно отметить, что вначале числа обозначали арабскими терминами «мусбат» и «манфи», которые ввел самаркандский математик и астороном ал-Кушчи и которые означали «прибавляемое» и «отнимаемое». Математики Европы перевели эти термины на латынь, как positivus и negativus и стали обозначать ими положительные и отрицательные числа.

Вопрос об отрицательных числах представляет интерес и в физике и в математике, в их межпредметной связи. Этому вопросу целесообразно уделить внимание при планировании внеклассной работы по предметам. Совместно учителя физики и математики могут разработать цикл рефератов, проектов, провести тематическую конференцию, посвященную данной проблеме, это несомненно не только расширит и углубит знания по предметам, но и будет способствовать повышению мотивации к их изучению и, следовательно к повышению качества обучения в целом.

Использованная литература:

1. Глейзер Г.И. История математики в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.

2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.

3. Учебники и учебные пособия по физике