Методические рекомендации при изучении темы высшей математики «Предел функции» студентами-экономистами

Методические рекомендации при изучении темы высшей математики «Предел функции» студентами-экономистами

В.В.Подгорная

г. Минск, Учреждение образования Федерации профсоюзов Беларуси «Международный институт трудовых и социальных отношений»

Очевидно, что сегодня математика по-прежнему является одним из самых трудоемких предметов как для учащихся средних школ, так и для студентов экономических вузов, именно поэтому методическая система бучения математике просто вынуждена интенсифицировать свои возможности. В настоящее время у нас накоплен достаточно обширный опыт по многоуровневой системе изучения отдельных тем высшей математики. Предлагаемая система изучения материала по высшей математике– это организация обучения, которая создает оптимальные условия для развития индивидуальных способностей обучаемых. При таком подходе студенты самостоятельно определяют уровень овладения учебным материалом с учетом проведенных тестовых контрольных работ, предложенных преподавателем.

Условно всех обучающихся можно разделить на две группы: первый уровень и второй уровень, конечно уровней может быть и больше, все зависит от степени подготовки студентов.

Первоначально – каждая группа студентов выполняет задания, которые составляют подготовительную работу к изучению темы. Объем и содержание подготовительной работы зависят от уровня группы. После выполнения подготовительных заданий можно провести экспресс-тестирование: задания, с предложенными ответами и вопросы по теории, изучаемого материала. На следующем этапе студенты должны рассмотреть предложенные варианты задач с готовыми решениями опираясь на данные образцы по аналогии решить предложенные примеры. Окончательный вариант контролируется преподавателем. Таким образом, организованная работа позволяет обучающимся в процессе переходить с более низкого уровня на более высокий.

Рассмотрим данный подход на примере изучения конкретной темы «Предел функции». Первоначально студентам предлагается рассмотреть, проанализировать или решить предложенные демонстрационные примеры. При этом каждый студент может выбрать для рассмотрения примера, который соответствует его уровню знаний.

1. Вычислить предел: .

Так как знаменатель x² - 9 = 0 при x = 3, то теорема об арифметике пределов не применима. Предел числителя также равен нулю в точке x = 3, поэтому искомый предел — неопределенность . Преобразуем числитель и знаменатель, разложив их на множители: x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1), x² - 9 = (x - 3)(x + 3). Поэтому .

Здесь дробь сокращена на (x - 3), поскольку по определению предела функции в точке M₀ этот предел не зависит от поведения функции в самой точке M₀. В нашем случае M₀ = 3.

Итак, (при вычислении предела воспользоваться теоремой об арифметике пределов уже можно).

2. Вычислить предел: .

Знаменатель x² - 4x + 4 является бесконечно малой функцией при x ® 2, следовательно — бесконечно большая функция при x ® 2. Применим теорему об арифметике пределов: .

3. Вычислить предел: .

Предел представляет собой неопределенность . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:

4. Вычислить левый и правый пределы функции в точке x₀ = 2.

Левый предел функции f(x) в точке x₀ = 2 — это предел функции f(x) в точке x₀ = 2 вдоль множества X = (-∞; 2), т. е. . А правый предел функции f(x) в точке x₀ = 2 — это предел функции f(x) в точке x₀ = 2 вдоль множества X = (2; +∞), т. е.: .

5. Вычислить левый и правый пределы функции в точке x₀ = p.

Напомним, что . Правый предел функции f(x) в точке x₀ = p равен так как sin x < 0 при . Аналогично, левый предел функции f(x) в точке x₀ = p равен так как sin x > 0 при .