Козлова О.В.

Лесосибирский педагогический институт – филиал ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», Лесосибирск

Площади многоугольников

Площади многоугольников является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе [2].

Площадь многоугольника понимается как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. В этом смысле понятие «многоугольник» используется в дальнейшем в изложении школьного курса математики, а площадь многоугольника определяется с помощью указания её свойств [1]:

1) численное значение площади любого многоугольника всегда положительно;

2) площади равных многоугольников, т. е. многоугольников, которые можно совместить с помощью движения, одинаковы;

3) площадь многоугольника, полученного объединением двух многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, будем называть не перекрывающимися);

4) площадь квадрата со стороной единичной длины равна единице.

Рассмотрим основные теоремы о площади многоугольника в курсе геометрии полной средней школы [3].

Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Формулы Герона для площади треугольника.

, где a, b, c – длины сторон треугольника, γ – угол, противолежащий стороне с;

.

Теорема 2. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. .

Теорема 3. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. S = ((AD + BC)/2)*BH, где ВН - высота трапеции.

Формула площади произвольного четырёхугольника с диагоналями d_1, d_2 и углом \alphaмежду ними (или их продолжениями). S=\frac{d_1d_2\sin\alpha}{2}

Формулы площади произвольного выпуклого четырёхугольника.

16S^2=4d_1^2d_2^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2, где d_1, d_2 — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон.

S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{\angle A+\angle C}{2}, где

p —полупериметр.

Существуют особые случаи нахождения площадей четырехугольника.

Если четырехугольник и вписан, и описан, то .

Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле:

.

Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:

.

Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:

Таким образом, основная сложность изучения материалам состоит в том, что не существует единого универсального метода в нахождении площади многоугольника. Особое внимание в работе с учащимися, необходимо уделять выводам формул площадей многоугольников, которые позволяют развивать у учащихся аналитическое, логическое мышление, применять такие умения, как умение анализировать, конкретизировать, обобщать.

Литература:

1.   Атанасян, Л. С. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000.

2.   Корешкова, Т. А., Цукерман, В. В. Многоугольники и их площадь в школьном курсе математики // Математика в школе. – 2003. – №9. – С.10-18.

3.   Макарова, Н. Д. Площадь. Единицы площади // Математика. – 2002. – №10. – С.30-31.