Мамедова Р.Г.

Лесосибирский педагогический институт – филиал ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», Лесосибирск

Векторный метод при решении задач

Векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач, особенно в сочетании с координатным методом.

Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Термин вектор употребляют в геометрии, по крайней мере, в двух смыслах. С одной стороны вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике «векторные величины». Различают соответственно «конкретный вектор» - направленный отрезок и «абстрактный (свободный) вектор» [1]. К понятию вектора как направленного отрезка, кроме математики, еще приводят многие задачи механики и других областей физики: теории упругости, теории электромагнитных полей.

Использование векторов при решении математических задач предполагает интерпретацию данных, о которых говорится в тексте задачи, на векторный язык. Тем самым строится модель рассматриваемой задачи.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений [2].

Выделяют три этапа работы с моделью:

1. Формализация данных. В нашем случае этот этап заключается в замене «реального» условия задачи на условие с использованием векторной символики.

2. Внутримодельное исследование. Здесь - это векторные преобразования.

3. Интерпретация результатов. У нас этот этап предполагает перевод полученных результатов в векторной форме на традиционный геометрический язык.

В связи с этим решение задач векторным методом можно разбить поэтапно:

Подготовительный этап. Его цель – изучение основных понятий в теме «Векторы», теорем, опираясь на которые можно решать задачи векторным методом.

Мотивационный этап. Его задача – показать необходимость овладения этим методом и добиться осознания того факта, что на следующих этапах целью деятельности учащихся будет именно усвоение этого метода решения задач.

Ориентировочный этап. Его цель – разъяснить суть метода и выделить его основные компоненты на примере анализа решенной этим методом задачи.

Этап овладения компонентами метода. Цель – используя специально подобранные задачи, формировать отдельные компоненты метода (сначала задачи на формирование одного компонента, потом двух, трёх и т.д.).

Этап формирования метода «в целом». Цель – решение задач, в которых работают все или большинство компонентов метода.

Выделенные этапы позволяют, решаемые векторным методом математические задачи, разбить на две группы: аффинные и метрические.

Аффинные задачи. К ним относятся задачи, при решении которых не используется операция скалярного произведения векторов.

1) Задачи на доказательство параллельности прямых.

2) Задачи на доказательство принадлежности точек плоскости одной прямой.

3) Задачи на деление отрезка в данном отношении.

Метрические задачи. К ним относятся задачи, при решении которых используется операция скалярного произведения векторов.

1) Задачи на доказательство перпендикулярности прямых.

2) Задачи на нахождение угла между прямыми.

Таким образом, учитывая все выше сказанное, можно выделить следующие цели изучения векторного метода при решении математических задач:

- дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;

- показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике – и на базе этого форматировать у учащихся диалектико-материалистическое мировоззрение;

- использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;

- формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

Широкое применение векторного аппарата, использование вектора при решении задач способствует расширению знаний учащихся, развитию и формированию мыслительных операций.

Литература:

1. Александров, П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П.С. Александров. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. – 512 с.

2. Василевский, А.Б. Обучение решению задач по математике / А.Б. Василевский. – Минск: «Вышэйшая школа», 1988.

3. Зеленяк, О.П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач, теорем. Моделирование в среде TurboPascal / О.П. Зеленяк. – Киев, М.: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008.

4. Ходот, Т.Г. Задачи по геометрии / Т.Г. Ходот. – М.: Академия, 2006.