УДК 517

К.ф.-м.н. О.Л. Бозиев

Кабардино-Балкарский государственный университет (г.Нальчик, Россия)

О нахождении решений нелинейного гиперболического уравнения путем редукции к нагруженным уравнениям

Одним из способов приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений является редукция к нагруженным уравнениям [1, 2]. В работе производится двойная редукция для построения последовательности приближенных решений нелинейного уравнения в частных производных.

Рассмотрим уравнение

(1)

возникающее при исследовании нестационарного течения жидкости в трубопроводе со скоростью u = u(x,t), при a > 0 и b > 0. Начальные и граничные условия, необходимые для интегрирования (1), могут иметь вид

u(x,0) = u_t(x,0) = 0, u(0,t) = ψ₁(t), u(l,t) = ψ₂(t), 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ x ≤ T. (2)

Потребуем, чтобы интегрируемая функция удовлетворяла уравнению (1) в области (0, l)×(0, T), а .

Чтобы произвести первую редукцию введем функцию δ(t), представляющую среднее значение функции u(x, t) на отрезке [0, l], по формуле

(3)

и перейдем к нагруженному уравнению . Его двукратное интегрирование по x с учетом граничных условий (2) дает функцию

применение к которой формулы (3) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно δ(t) при µ = bl² /12a², χ(t) = (ψ₁(t) + ψ₂(t))/2:

(4)

Начальное условие, необходимое для интегрирования (4), найдем с помощью (3) и первого из условий (2): δ(0) = 0.

Для решения уравнения (4) произведем вторую редукцию к нагруженному уравнению, для чего введем величину γ, выражающую среднее значение функции δ(t) за заданное время T протекания исследуемого процесса, т.е.

(5)

В результате перейдем к задаче нахождения при δ(0) = 0 решения уравнения

(6)

общее интеграл которого имеет вид

(7)

Применение к (7) формулы (5) приводит к уравнению относительно γ, корень которого будет нулевым приближением γ⁽⁰⁾ в итерационном процессе решения задачи (1) – (3), состоящем в нахождении «улучшенных» приближенных решений путем последовательного решения задач вида

(8)

u⁽^k⁾(x,0) = u_t⁽^k⁾(x,0) = 0, u⁽^k⁾(0,t) = ψ₁(t), u⁽^k⁾(l,t) = ψ₂(t), 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ x ≤ l, (9)

(10)

Решение задачи (8) – (9) определяется с помощью функции Грина для гиперболических уравнений формулой

(11)

Пример. Найдем решение задачи (1) – (3) при ψ₁(t) = tu₁/T, ψ₂(t) = 0, Тогда правая часть уравнения (6) имеет вид χ(t) = At, где A = u₁/2T, а его решением в соответствии с (7) будет функция

Применим к ней формулу (10) чтобы получить уравнение

решение которого даст число γ⁽⁰⁾ в (8). Заметим, что µ ≈ 0 при l ≤ a. Пользуясь (11) с первым слагаемым в подынтегральной сумме, получим формулу

(12)

где γ⁽^k⁾ определяется из (10). Таким образом, решение задачи (8) – (9) сводится к построению последовательности ее приближенных решений u⁽^k⁾(x,t), общий член которой определяется по формуле (12).

Рассмотрим результаты компьютерного моделирования приближенных решений задачи (1) – (3) при заданных ψ₁(t) и ψ₂(t) и следующих данных о параметрах водопровода и течения воды: l = 34,6 м, u₁ = 1 м/сек, a = 1450 м/сек, b = 0,0375, T = 12 сек, тогда μ = 1,8·10^-6, A = 0,5. В силу малости μ положим γ⁽⁰⁾ = AT/2 = 0,25. В таблице приведены результаты расчетов значений u⁽^k⁾ в расчетных точках x при t = 12 и соответствующих значений γ⁽^k⁾.

x u^(k)	3,46	6,92	10,38	13,84	17,3	20,76	24,22	27,68	31,14	34,6	γ⁽^k⁾
u⁽⁰⁾	0,2240	0,4261	0,5865	0,6896	0,7252	0,6100	0,5872	0,4270	0,2251	0,0012	0,2500
u⁽¹⁾	0,1827	0,3475	0,4783	0,5624	0,5915	0,5627	0,4789	0,3483	0,1836	0,0009	0,3488
u⁽²⁾	0,1975	0,3757	0,5172	0,6080	0,6395	0,6084	0,5178	0,3765	0,1985	0,0010	0,3091
u⁽³⁾	0,1918	0,3649	0,5023	0,5906	0,6211	0,5909	0,5029	0,3657	0,1929	0,0009	0,3236
u⁽⁴⁾	0,1940	0,3690	0,5079	0,5971	0,6280	0,5974	0,5085	0,3698	0,1949	0,0010	0,3181
u⁽⁵⁾	0,1931	0,3674	0,5058	0,5947	0,6254	0,5950	0,5064	0,3682	0,1941	0,0009	0,3194
u⁽⁶⁾	0,1935	0,3680	0,5066	0,5956	0,6264	0,5959	0,5071	0,3688	0,1944	0,0009	0,3197
u⁽⁷⁾	0,1933	0,3678	0,5063	0,5952	0,6260	0,5955	0,5069	0,3686	0,1943	0,0009	0,3196
u⁽⁸⁾	0,1934	0,3679	0,5064	0,5954	0,6261	0,5957	0,5070	0,3687	0,1944	0,0009	0,3196
u⁽⁹⁾	0,1934	0,3679	0,5063	0,5953	0,6261	0,5956	0,5070	0,3686	0,1943	0,0010	0,3196
u⁽¹⁰⁾	0,1934	0,3679	0,5063	0,5953	0,6261	0,5956	0,5070	0,3687	0,1943	0,0010	0,3196

В каждой из расчетных точек наблюдается осцилляционное приближение u⁽^k⁾к некоторому предельному значению. Это же справедливо и для γ⁽^k⁾. Полученные результаты могут означать, что последовательность u⁽^k⁾(x,t) сходится к решению u(x,t) задачи (1) – (3). При обосновании такой сходимости с помощью (12) можно находить “достаточно точные” решения задачи (8) – (9), которые, в свою очередь, будут приближенными решениями задачи (1) – (3).

Литература

1. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. – М.: Наука, 2012.

2. Бозиев О. Л. Решение начально-краевой задачи для нелинейного параболического уравнения методом редукции к нагруженному уравнению. Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2012, № 4 (48), с. 20–25.