Таттибеков К.С.

Таразский государственный педагогический институт, Казахстан

Солитоны в одной магнитоупругой модели

 

В настоящее время понятие солитона получило широкое распространение. Это объясняется его универсальностью и обилием приложений при выяснении различных процессов в нелинейных средах. Математический аппарат теории солитонов - метод обратной задачи рассеяния - стал мощным инструментом для исследования нелинейных уравнений в частных производных. МОЗР позволяет построить точные  N - солитонные решения интегрируемых эволюционных уравнений, когда для них известны соответствующие задачи рассеяния. Если последние неизвестны, то N - солитонные решения интегрируемых уравнений могут быть найдены прямыми методами - метод преобразования Бэклунда, метод Хироты. Более того, метод Хироты [1,2] дает возможность получить солитонные решения и неинтегрируемых уравнений в частных производных.

Рассмотрим систему нелинейных эволюционных уравнений, описывающую магнитоупругую динамику в ферромагнетиках [3]:

                               (1a)

                                                                   (1б)

                                                                                     (1в)

с граничными условиями на бесконечности

                        ,                          (2)

где   ,    -  посстоянные действительные числа.

Далее, используя условие

уменьшим число неизвестных функции на одну. Для этого достаточно перейти к новой неизвестной функции  по формулам  

,      

где * - означает комплексное сопряжение. Тогда система (1) и граничные условия (2) переходят соответственно к

             ,                 (3a)

                                                                              (3б)

                                                                (4)

Система нелинейных дифференциальных уравнений (3) инва­риантна относительно группы сдвигов в пространстве независимых переменных

 - действительный параметр, порожденный образующей    – посстоянное число. Глобальными инвариантами этой группы являются

так что инвариантное относительно группы сдвигов решение системы (3) имеет вид

определяющее волну неизменного профиля, движущаяся с постоянной скоро-стью  .

Выражая производные от функции   через произ-водные по  , имеем,

после чего система (3) переходит к следующей системе обыкно­венных дифференциальных уравнений

                    (5a)

                                                               (5б)

а граничные условия (4) к

                                                                      (6)

Уравнение (2.5б) после двукратного интегрирования, с уче­том условия на бесконечности (6), дает

                                                                                 (7)

После подстановки (7)  в  (5а)  получим

            (8)

Последнего уравнения интегрируем используя формализацию Хи­роты [1]. Подстановка  - функции компле­ксные, в (8) и последующее расщепление приводят к двум уравнениям

                     ,                          (9а)

             .          (9б)

Где    есть оператор Хироты, определяемый по формуле

  при      .

В отличие от обычной для данного метода билинейной формы, выражения (9) являются трилинейными, что усложняют дальнейшие вычисления. Отметим,что трилинейную формуХироты имеет и уравнение Ландау-Лифщица [4]. Однако, как в этом убедимся ниже, возникшая трудность не является принципиальной. Выражения (9) легко могут быть преобразованы к билинейным формам Хироты [2].

Для построения солитонных решений уравнения (8), удовлет­воряющих граничному условию (6), разложим функции    в формальные ряды теории возмущений

                                                            (10а)

                                                               (10б)

где    - некоторый действительный параметр.

Подставив (10)  в  (9), и приравняв к нулю коэффициенты при каждой степени  , получим:  

                                                                             (11а)

                                                                                   (11б)

                                      (11в)

                    (11г)

     (11д)

и т.д., где через    обозначены операторы

                                            

 .

Для солитонных решений ряды (10) обрываются. Функция    где - комплексные числа, является решением уравнения (11а), если имеет место равенство

                                                                       (12)

Тогда из  (11б),  интегрируя,  найдем

Уравнение для   (11в), после подстановки в него    примет вид  Следовательно, в силу линейности оператора, можно взять   Аналогично, из (2.11г) имеем, что

Далее нетрудно убедится в том, что все уравнения для   в (11) являются линейными однородными, так что возьмём

Таким образом, решением трилинейных уравнений (9) являются

                                                                   (13)

где    - вполне определенные функции.

Теперь можно написать явный вид солитонного решения системы (1). Из (12) имеем, что

где k - любое действительное число, и

Тогда в силу (13), по формулам    (2),  (7) получим солитонное решение системы уравнений (1) удовлетворяющее граничному условию (2):

                                                      

 

                                                     

 

 - любые действительные числа.

Эти формулы показывают, что решение

представляет собой уединенную волну, локализованную вдоль направления   центр которой движется с постоянной скоростью   .

 

 

Литература

1.Hirota R. Direct Methods of Finding Exact Solutions jf  Non­linear Evolution Equations. Вкн.:Baklund Trans formations, ed.by R.M. Miura, Lecture Notes in Mathematics, 1976, Vol.515.

2.Hirota R. Bilinearization of Soliton Equations /J. Phys. Soc. Jap., 1982, v.51, №1, p.323-331.

3.Мырзакулов Р. Новые нелинейные эволюционные уравнения, опи­сывающие динамику магнон-фононных систем /Вестник АН Каз ССР, 1990, №1, с.74-77.

4.Богдан М.М., Ковалев А.С. Точные многосолитонные решения урав­нений Ландау-Лифщица для неизотропного ферромагнетика /Писма в ЖЭТФ, 1980,т.31,№8, с.453-457.