Математика/4. Прикладная математика

Доспулова У.К., старший преподаватель

Серикпаев А.А., студент 4 курса специальности «Математика»

Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова, Казахстан

Числовые характеристики и законы смертности в страховой математике

При решении некоторых задач страховой математики используются числовые характеристики: функция дожития и интенсивность смертности.

Функция дожития (выживания) определяется как условная вероятность для наугад выбранного человека из числа родившихся дожить до определенного возраста и обычно обозначается s(x).

Пусть Х – время жизни выбранного наугад лица. X будет являться случайной величиной, так как чаще всего точное время наступления смерти предсказать невозможно.

Дожитие лица до х лет описывается неравенством вида . Используя формулы теории вероятности, можно описать функцию дожития s(x) .

Функция выживания обладает свойствами:

1) s(x) убывает;

2) s(0) = 1; s(x) = 0, x > ω;

3) s(x) непрерывна.

Функция распределения является дополнением s(x) до 1 и представляет собой вероятность для лица не дожить до возраста х:

Выразим условную вероятность дожития лица возраста х до x+t лет:

Используя формулы теории вероятности, получаем следующее:

Тогда

.

Величина

характеризует долю лиц возраста х, умирающих в единицу времени в промежутке между х и x+t лет, и называется интенсивностью смерти.

В ходе преобразований формулы с использованием предела получаем:

Далее получаем, что

Тогда интегрированием получаем:

Это означает, что функции s(x) и определяют друг друга.

Рассмотрим связь функции выживания с характеристикой .

Для начала введем индикатор для события А:

Тогда число лиц, доживших до возраста х из l₀ родившихся:

Ее математическое ожидание определяет

Рассмотрим самые распространенные законы смертности:

Модель де Муавра.

Для данного закона мы имеем:

, , , ,

где, - плотность распределения случайной величины Х, которая определяется как первая производная от функции распределения F(x).

Модель Мейкхама.

где А – риск несчастного случая, а - показатель влияния возраста на смертность.

Модель Вейбулла.

Интенсивность смертности задается степенной функцией

,

Модель Гомпертца:

Интенсивность смертности в этой модели задается формулой:

.

α, B – некоторые параметры, причем α > B, B > 0

кривая смертей здесь находится по формуле:

Модель Эрланга

Для данной модели мы имеем следующее:

, ,

Рассмотренные аналитические законы смертности позволяют описать получаемые эмпирическим путем данные о функции выживания или интенсивности смерти с помощью простых формул.

Литература:

1. Кошкин Г.М. Основы страховой математики. г.Томск, 2002,112 с.

2. Фалин Г.И., Фалин А.II. Введение в актуарную математику. М.: Изд-во МГУ, 1994, 86 с.