Хомченко А.Н.

Черноморский государственный университет им. Петра Могилы, Николаев, Украина

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В ОКТАЭДРЕ
И ФУНКЦИИ – «КРЫШКИ» КУРАНТА.

Введение. Интерес к октаэдру как конечному элементу возник совсем недавно в связи с задачами визуализаций в 3D, а также расчетами трехмерных течений жидкости. Проблема конструирования полиномиального базиса октаэдра сегодня практически решена. В распоряжении пользователя есть как 7-узловой, так и 6-узловой базисы. В статье предпринята попытка интерпретировать 6-узловые базисы (кусочно-линейный и квадратичный) в терминах функций – «крышек» Куранта. Простая и наглядная симплексная модель Куранта оказалась весьма плодотворной и вот уже 70 лет подтверждает свою эффективность.

Анализ предшествующих публикаций. Первые модели октаэдра [1, 2] содержали 7 узлов (6 в вершинах и 1 в центре). Не исключено, что такой вычислительный шаблон возник под влиянием метода конечных разностей. В методе конечных элементов по известным причинам стараются освободить носитель от внутренних узлов. Поэтому появились 6 – узловые модели октаэдра [3-5] и новые способы конструирования соответствующих базисов.

Цель настоящей работы – показать на примере октаэдра конструктивные возможности функций – «крышек» Куранта в задачах построения интерполяционных базисов.

Основная часть. На рис. 1 показан 6-узловой октаэдр в системе декартовых прямоугольных координат.

Рис. 1 6-узловой октаэдр

Интерполяционный полином в форме Лагранжа имеет вид:

, (1)

где – базисные функции; – узловые значения интерполируемой функции.0
Базисные функции должны удовлетворять интерполяционной гипотезе:

(2)

где i – номер функции; k – номер узла . Базисные функции можно найти алгебраически, составив и решив СЛАУ 6 x 6. Алгебраический подход долгое время преобладал в методе конечных элементов. Интерполяционный коэффициент Лагранжа обычно записывают в виде:

, (3)

где а priori следует из второго равенства (2). Задача сводится к определению коэффициентов и может быть решена методом обратной матрицы, если матрица СЛАУ не вырождена. Заметим, что для правильного шестиугольника матрица вырождена. Поэтому полиномиальный базис шестиугольника алгебраически построить не удается.

Мы предпочитаем моделировать базис геометрически в духе Уачспресса [6]. И хотя Уачспресс, как правило, получал дробно-рациональные базисы, мы надеемся, что на октаэдре базис будет полиномиальным.

Начнем с метода сечений и принципа разделения переменных. На рис. 2 показано сечение октаэдра плоскостью, содержащей ось ox.

Рис. 2 К построению кусочно-линейного базиса.

Ломаная линия является графиком функции в осевом сечении:

= (4)

Эту функцию можно записать компактно:

(5)

Аналогично, . График – пунктирная ломаная на рис 2. Таким образом, для узлов на оси ox имеем:

В сечениях вдоль осей oy и oz получим соответственно:

,
.

Сумма этих функций не равна 1, как этого требует интерполяционная гипотеза (2). Чтобы ликвидировать невязку , распределим поровну между четырьмя функциями и . Аналогично, распределим поровну между и , а между и .

Окончательно получим:

,
, (6)
.

Как видим, эти функции удовлетворяют всем требованиям интерполяционной гипотезы (2). Анализируя рис. 2 и формулы (6), легко усмотреть в этой модели функции – «крышки». Если же воспользоваться огибающей параболой, проходящей через точки и , можно получить квадратичный базис. Мы попытаемся получить квадратичный базис, перемножая функции – «полукрышки». На рис. 3 показаны «полукрышки», которые ассоциируются с узлом 3.

Рис. 3 К построению квадратичного базиса

Обе прямые проходят через точку , поскольку мы строим . Первая прямая, кроме этого, проходит через точку , т.к. в этой точке должна обратиться в нуль. Вторая прямая проходит через точку , т.к. произведение начальных ординат должно дать . Начальная ордината первой прямой равна . Вторая прямая пересекает ось ox в точке .

«Перемножение» прямых даёт:

.
Аналогично, . Таким образом, для узлов на оси ox имеем

.

Как видим, квадратичную функцию можно получить из кусочно-линейной, заменив на . В сечениях вдоль осей oy и oz получим соответственно:

,
.

Понятно, что баланс функций снова нарушен, но теперь мы знаем, как это восстановить.

Окончательный результат выглядит так:

,
, (7)
.

Нетрудно убедиться, что функции квадратичного базиса также удовлетворяют всем требованиям интерполяционной гипотезы (2). Стоит отметить, что функции (6) и (7) являются гармоническими по Лапласу. Это очень полезное свойство, позволяющее по известным узловым значениям восстановить гармоническую в октаэдре функцию.

Следует специально остановиться на технологии применения функций – «крышек». При конструировании кусочно – линейного базиса (6) «крышки» стыкуются («сшиваются») на границе линейных участков. При конструировании квадратичного базиса (7) две «крышки» «перемножаются», образуя параболу второго порядка. Красота полученных базисов – следствие «многоликой» симметрии октаэдра (одного из замечательных тел Платона).

Октаэдр, оснащенный базисами (6) и (7), становится интересным объектом для дальнейших исследований. Базисные функции удобно интерпретировать как переходные вероятности броуновской частицы из произвольной точки в узел . Моделируя случайные блуждания по решетке внутри октаэдра можно экспериментально подтвердить закон больших чисел в форме Бернулли (об устойчивости относительных частот поглощений частиц в узлах). Тот факт, что , позволяет предложить несеточную одношаговую 6-маршрутную схему случайных переходов. Компьютерные эксперименты свидетельствуют, что переходная вероятность не зависит от конфигурации и протяженности траектории броуновской частицы. Впрочем, это легко проверяется и без компьютера. Пусть частица стартует из барицентра октаэдра. Вероятность перехода частицы в какую-либо вершину за один шаг равна . Это следствие симметрии. Рассмотрим двухшаговую схему. На первом шаге частица переходит из барицентра октаэдра в барицентр «благоприятствующего» ребра с вероятностью . На втором шаге частица переходит в «благоприятствующую» вершину с вероятностью . Используя условную вероятность и правило умножения вероятностей зависимых событий, получим: . В другом варианте двухшаговой схемы частица переходит из барицентра октаэдра в барицентр «благоприятствующей» грани с вероятностью , а затем из барицентра грани в «благоприятствующую» вершину с вероятностью . Теперь . Наконец, рассмотрим трехшаговую схему. На первом шаге частица переходит в барицентр «благоприятствующей» грани с вероятностью . На втором шаге она переходит в барицентр «благоприятствующего» ребра с вероятностью . На третьем шаге частица переходит в «благоприятствующую» вершину с вероятностью . Таким образом, вероятность трехшагового перехода равна . В заключение укажем на возможность обобщения барицентрической задачи Мебиуса (об умышленном смещении барицентра системы материальных точек).

Литература

1. Greiner G. Hierarchical tetrahedral-octahedral subdivision for volume visualization / G. Greiner, R. Grosso // The Visual Computer.-2000.-I.16-P.357-369
Режим доступа: http://www.springerlink .com/content/r3jrlmj01dguu73/fulltext.pdf

2. Bruijn H. Numerical Method for 3D Ideal Flow / Handle Bruijn // Режим доступа: http://hdebruijn.soo.dto.tudelft.n1/jaar2010/octaeder.pdf

3. Хомченко А.Н. Геометричне конструювання базису октаедра: модифікація методу Уачспресса / А.Н. Хомченко, А.П. Мотайло // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка.-Вип. №4.-Серія:фізико-математичні науки, 2011.-С.51-55

4. Хомченко А.Н. Вероятностно-геометрическое конструирование базиса октаэдра / А.Н. Хомченко, А.П. Мотайло // Геометричне та комп’ютерне моделювання.-Вип. 28.-Харків:ХДУХТ, 2011.-С.51-56

5. Хомченко А.Н. Дискретный аналог интеграла Пуассона для шара / А.Н. Хомченко, А.П. Мотайло // Радіоелектроніка. Інформатика. Управління.-1(26).-Запоріжжя:ЗНТУ,
2012.-С.79-82

6. Wachspress E.L. A rational finite element basis / E.L. Wachspress.- Academic Press, New York, 1975.-344р.