О простейшем методе решения уравнения параболического типа второго порядка

Бейсенова А. Е. – магистрант II – го курса, Государственного университета имени Шакарима, г. Семей, Казахстан

 

Рассмотрим два уравнения  параболического типа

                                                                     (1)

                                                                     (2)

         Общее решение уравнений (1) и (2) соответственно может быть записано в виде

                                                    ()

                                                                         ()

где - постоянные, - произвольные функций. Опираясь к дополнительным условиям, находим частные решения этих уравнений.

Покажем, что с помощью разных преобразований уравнений зависимых от  характеристик, уравнения в частных производных приводятся к дифференциальным уравнениям, и можно получить общее решение зависимых от некоторых постоянных.

Для отыскания частного решения  (1) уравнения сделаем замену

переменных:

                                                   (3)

и получим

                                                                                         (4)

дифференциальное уравнение. Решив это уравнение, переходя к прежним переменным находим частное решение

                              .                            (5)

Опираясь к дополнительным условиям находим -постоянных.

Рассмотрим для (1) уравнения задачу  Гурса

                                                                              (6)

 

где . Итак  решение будет  в виде

                                        .                               (7)

Если используем (6) условие к общему решению () уравнения  (1), то увидем,что полученное решение будет правильным.

Теперь для  (1) уравнения рассмотрим задачу Коши

                                                                                (8)

Если к (5)-ому уравнению используем условия (8)-го уравнения, то получим

Из этого находим, что .

Таким образом, искоемое решение имеет  вид

                                                                        (9)

Теперь опираясь к этому условию, нахождение общего решения  (), функций   приводит к нашему правильному рассуждению.

Характеристикой (2)-го уравнения  будет кривая в виде

                                                                                             (10)

Отсюда, заменив на

 или

уравнение  приводится к дифференциальному уравнению (4). Итак решение будет в виде

                              .                             (11)

Если к уравнению (2) рассмотрим задачу Коши

                                                                                      (12)

отсюда  можно легко найти постоянных.

Если решим эту задачу с помощью общего решения, то возникло бы немного недоразумений.

Итак были показаны, что с помощью рассматриваемых преобразований можно быстро найти частное решение в некотором случае задачи основанных на краевые или  начальные условия уравнения параболического типа.

 

 

 

Әдебиеттер:

1. А.В. Бицадзе, Д.Ф. Калиниченко. Сборник задач по уравнениям математической физики. М: «Наука» 1977, 274 стр.