Байсарова Г. Г.

Ш. Есенов атындағы КМТжИУ, магистр

 

Тақырыбы «Дөңгелек пластиналардың оске симметриялы иілуі»

 

         Жұқа қабырғалы конструкциялар – пластиналар, қабықтар, жұқа қабырғалы стерженьдер техника мен құрылыс саласында кеңінен қолданылды. Бір жағдайларда олардың көмегімен өте жеңіл де үнемді, сонымен қатар берік те қатты құралымдар жасалса, келесі  жағдайларда, мысалы аспаптардың серпімді элементтерінде, бұл конструкциялар өте иілімді болып келеді.  

         Жұқа қабырғалы конструкциялардың тиімділігін арттыру оларды есептеу тәсілдерін жақсартып дамытуға тікелей тәуелді. Жұқа қабырғалы қабықты конструкциялар машина жасау салаларында күрделі жүйелерге жатады. Олардың негізгі сипаттамалары беріктік мәселелерін шешумен байланысты. Контактты өзара әсерлесу мен локальды күш түсу кездерінлегі қабықты материалдардың серпімділік есебі беріктік есебінің кең кластарын шешуде қажетті болып табылады. Алайда күш түсу режимі күрделі заманауи машина жасау конструкцияларында кернеулік-деформация күйлері, әсіресе көтергіштік қабілетін зерттеу материалдың серпімсіз деформациялану аймақтарында қарастырылуы тиіс. Жұқа қабырғалы конструкциялар беріктігін есептеудің тиімді әдістерін дайындау барысында физикалық сызықсыз теориялар маңызы айтарлықтай артты.

         Жұқа қабырғалы қабықты конструкциялар техниканың әртүрлі салаларында қысым түтіктері, планерлар мен ұшақтардың немесе авиациялық қозғалтқыштар элементтерінің тығыздағыш және компенсациялаушы құрылғылары, басқа көлік құралдарында кеңінен қолданылады. Эксплуатациялау кезінде олардың көпшілігі қарқынды күш және температуралық әсерлерге тап болады. Конструкциялардың бұл жағдайлардағы ұзақ мерзімді статикалық және циклді деформациялануы олардың формаларының бұзылуына, жергілікті және жалпы орнықтылығының жоғалтуына, ақаулардың жинақталып, күш көп түсетін элементтерінің қирауына алып келеді.

         Жұқа қабырғалы қабықты конструкциялар  аэрокосмостық аппараттарда, көлік және химиялық машина жасау объекттерінде, құрылыс ғимараттарында эксплуатациялану процесінде жинақталған сыртқы күштер әсеріне ұшырай отырып кеңінен қолданылады. Бұл күштер бірқатар шектік деңгейіне жеткенде олар орнықтылығын жоғалтады. Жеңіл болып келетін кеңістік жұқа қабырғалы жүйе – қабық өте қатаң конструктивті форма болып табылады. Оны есептеу және жобалау кезінде бірнеше технологиялық және конструктивті факторлар ықпалын ескеруге тура келеді: дайындау сапасы, қабықтың теориялық айналымдарынан ауытқуы, пісіру жіктері мен конструктивті жапсарласу аймақтарындағы формалардың ойдағыдай болмауы. Барлық факторларды ескеру күрделі мәселе болып табылады, сондықтан тәжірбиеде конструкциялардың көтеру қабілеттері натуралы үлгілерде қойылады. Жобалау кезінде орнықтылық коэффициенттері баспа жұмыстарындағы ұсыныстар мен ұқсас конструкцияларды сынау барысында алынған статистикалық мәліметтерге сүйене отырып алынады.

         Жұқа қабырғалы қабықты конструкцияларға химиялық, энергетикалық, мұнай өңдеу, газ, металлургия және өнеркәсіптің қосымша салаларында қолданылатын беттік конструкциялардың басым тобы жатады.

         Дөңгелек пластиналар түріндегі конструктивті элементтер тәжірбиеде жиі қолданылады (аппаттар қақпақтары мен түптері, люктер, дөңгелек дисктері және т. б.). Бұл мақалада пластина деформациясының ең қарапайым түрі – олардың ығысулары оске симметриялы иілуі қарастырылған.  

         Дөңгелек пластинаның диаметрлік қимасы 1 суретте схемалық түрде көрсетілген, мұндағы  А – пластинаның орта жазықтығы, z – оның симметрия өсі, h – пластинаның симметрия өсінен r қашықтықтағы қалыңдығы. Қалыңдық радиусқа қатысты өте жай өзгереді деп алайық, . Төменде келтірілген әдісті қалыңдығы кейбір қималарда күрт өзгеретін пластиналарға да қолданыуға болады (мысалы, қалыңдығы баспалы-айнымалы пластиналар үшін). Алайда қалыңдықтың өзгеру орындарында есептеулерде ескерілмейтін кернеулер жинақталады.

Сурет 1

         Пластиналарды иілуге есептеулер негізінде Кирхгофф гипотезалары жатады. Бұл гипотезалардың біріншісі бойынша, деформацияға дейін пластинаның орта жазықтығына нормальді материалдық элемент                     ОМ (сурет 2),  деформациядан кейін тік сызықты және иілген орта жазықтыққа қатысты нормальді болып қалады.  Балкалар иілуінің теориясындағы жазық қималар гипотезасына ұқсас бұл гипотеза пластина массивіндегі кез-келген нүкте ығысуын орта жазықтық нүктелерінің ығысуымен байланыстыруға мүмкіндік береді. Кирхгоффтың екінші гипотезасы бойынша орта жазықтыққа параллель алаңдағы нормаль кернеулер σz  перпендикуляр алаңдардағы кернеулермен  σx , σy . салыстырғанда өте аз деп қарастырылады.

         Кирхгофф гипотезалары теорияны тек қана жұқа, қалыңдығы h сыртқы радиусқа R (h/R ) қарағанда өте аз болатын пластиналармен шектейді. 

         Пластина аз шамаға майысқанда орта жазықтықтың әрбір нүктесі иілу кезінде нормаль бағытта ығысады деп есептелінеді және орта жазықтықтың созылуын есепке алмайды.

         Осы шарттар негізінде тұрғызылған пластинаның сызықтық иілу теориясы пластинаның майысуына ω да қолданылады. Бұл жерде гипотезаны қолдагуға болатын  қатынасының шектік мәні, пластинаны бекіту тәсілі мен оған түсетін күштерге байланысты болады.

         Пластинадағы кернеулер мен деформацияларды анықтайтын негізгі тәуелділіктерді табамыз.

         Орта жазықтық нүктелерінің ығысуын ω оң бағытта деп аламыз, егер ол z осінің оң бағытында бағытталған болса. Нормальдың орта жазықтыққа қарай бұрылу бұрышын υ оң деп аламыз, егер пластина нүктелері z 0 симметрия өсінен қашықтайтын болса. (сурет 2).

Сурет 2

         Кирхгофф гипотезасына сәйкес нормальдың бұрылу бұрышы жанаманың орта жазықтыққа қарай бұрылу бұрышына тең болғандықтан, υ бұрышының мәні аз болған жағдайда мына қатынас орындалады:   

                                                                                                         (1)

         Орта жазықтықтан z қашықтықта орналасқан  М нүктесі, деформация нәтижесінде радиалды ығысуға ұшырайды:

                                                      u = υz                                                         (2)

         Орта жазықтықтан сондай  z арақашықтықта, бірақ  r+ dr радиусында орналасқан көршілес М1 нүктесі мынадай ығысуға ұшырайды:

u  dr = (υ + d υ) z.

Сурет 3

         ММ1 радиалды талшығының салыстырмалы ұзаруы:

                                                                                      (3)

                  М нүктесінен өтетін, ұзындығы деформацияға дейін 2πr, ал деформациялан кейін 2π(r+u) болатын  сақиналы талшықты қарастыра отырып оның салыстырмалы ұзаруын табамыз:

                                                                                 (4)

         (3) және (4) формулаларынан радиалды және шеңберлі деформациялар пластина қалыңдығы бойымен сызықтық заң бойынша ауытқып отыратынын байқаймыз.

         Орта жазықтықтан z арақашықтықтан кесіп алынған пластинаның шексіз кіші бөлшегін шектейтін алаңдарға әсер ететін кернеулерді қарастырамыз.

         Радиалды қималар симметрия жазықтықтары болып табылады, сондықтан онда тек нормаль кернеулер σ2 туындайды. Цилиндрлік қималарда нормаль (σ1) кернеулермен қатар, жанама  (τ) кернеулер де туындайды. Орта жазықтыққа параллель қималардағы нормаль кернеулер σz ескермеуге болатындай аз болғандықтан, бұл қималарда тек қана жанама кернеулер (жұптық заң бойынша цилиндрлік қималардағы кернеулерге τ тең) есепке алынады  .  

         Нормаль кернеулер σ1, σ2  сәйкес деформациялармен Гук заңы арқылы байланысады (σz есепке алынбайды деп есептегенде).

ε1 = ; ε2 =

немесе

 ( );  ( )

         Жоғарыда табылған деформация өрнектерін (1.3) және (1.4) қойып, аламыз:

  ;                                    (5)

         Кирхгофф гипотезасы қабылданғандықтан и сдвиги, соответствующие жанама кернеулер τ сәйкес келетін ығысулар ескерілмейді. Бұл кернеулерді ығысулармен Гук заңы арқылы байланыстыра алмаймыз.

Орта жазықтық қимасының ұзындық бірлігіне келтірілген шеңберлік және радиалдық қималардағы моменттер мен күштерді анықтаймыз.         

         Шеңберлік қимада орта жазықтық қимасының ұзындық көлденең күш және иілдіруші момент сәйкес келеді:

                                                

         Радиалды қимада тек қана қарқындылықтың иілдіруші моменті туындайды:

                                          

         Жоғарыда алынған М1 және М2 формулаларын (5) өрнегіне қойып және пластинаның қалыңдығы бойынша интегралдап моменттер мен нормальдың бұрылу бұрышы υ  арасындағы байланысты табамыз.

                                        ;                                            (6)

мұндағы, D – цилиндрлік қатаңдық

                                                                                                          (7)

         Нормаль кернеулерді  және иілдіруші моменттер арқылы өрнектеуге болады:

,                                               (8)

         Максимал (абсолют шамасы бойынша) кернеулер пластинаның сыртқы беттеріне жақын жерлерде туындайды ( ).

                           (9)

                                                                 

      Бұл формулалардағы «+» белгісі  нүктесіне, ал «-» таңбасы  нүктесіне сәйкес келеді.     

Литература:

1. Бидерман И. «Механика тонкостенных конструкций»

2. Твалчрелидзе А.К.«Теория оболочек с несколькими базовыми поверхностями»

3. Кабаяси А. «Экспериментальная механика»