Военная академия войсковой противовоздушной обороны Вооруженных Сил Российской Федерации имени Маршала Советского Союза А.М. Василевского, Россия

Применение проекционного метода решения некорректных задач для обоснования способов сверхразрешения воздушных целей в радиолокационных станциях

Недостаточная разрешающая способность является причиной низкой информативности радиолокационных станций (РЛС) различного назначения. В связи с необходимостью повышения разрешающей способности РЛС актуальным является поиск путей преодоления рэлеевского интервала разрешения эхосигналов на этапе первичной обработки [1].

Описание наблюдения y на выходе антенных систем широкого класса РЛС можно представить в операторной форме:

(1)

где – непрерывный линейный оператор радиоканала; – портрет воздушной цели; – шумы наблюдения.

Актуальной для практики является обратная задача: задача оценки портрета радиолокационной цели x по наблюдаемому на фоне помех ν эхосигналу y. Как правило, – компактный линейный оператор с плотной в гильбертовом пространстве областью определения и обратная задача (1) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода [1]. Центральной проблемой при этом является то, что в гильбертовом пространстве оператор не имеет ограниченного обратного, что свидетельствует о принципиальном отсутствии устойчивого решения (1). Поэтому задачу (1) для компактного относят к некорректным в математическом смысле задачам [1].

Здесь целесообразно привести несколько характерных примеров типовых практических задач, являющихся частными случаями (1).

Применительно к РЛС постановку (1) удобно пояснить на простейшем примере функционирования радиолокационного дальномера. При этом связь между наблюдаемым эхосигналом и радиолокационным портретом цели (зависимостью комплексного коэффициента отражения цели от радиальной дальности или времени запаздывания эхосигнала τ) описывается интегральным оператором:

где – время; – зондирующий сигнал; – время запаздывания эхосигнала, отраженного от расположенной на соответствующей дальности точки портрета x(τ).

Например, если цель состоит из n точечных рассеивателей, ее радиолокационный портрет имеет вид: , где – функция Дирака;
– комплексные коэффициенты отражения, характеризующие амплитуду и фазовый сдвиг эхосигнала i-го отдельного рассеивателя; – время запаздывания эхосигнала i-го рассеивателя.

При этом, в силу фильтрующего свойства функции Дирака, приходим к типовой модели эхосигнала группового рассеивателя, состоящего из n точечных: . Важно то, что форма портретов реальных отдельных рассеивателей может в той или иной степени отличаться от описания , более того, может вообще иметь произвольный вид. Задача оценки по наблюдению и приводит к обратной задаче (1).

В общем случае, портрет цели может быть определен на многомерном поле параметров (– вектор), а антенная система радиолокатора обеспечивать многоканальный прием (y является вектор-функцией времени).

Рассмотрим актуальную для практики двумерную обратную задачу применительно к импульсно-доплеровским РЛС или, например, применительно к, так называемым, нелинейным радиолокаторам. Если портрет радиолокационной цели имеет отдельные точечные элементы, эхосигналы которых отличаются сдвигом по времени и по частоте : , то модель наблюдения имеет вид:

Ядро интегрального оператора изменилось на . Следует подчеркнуть, что постановка задачи (1) позволяет «вернуть» т. н. нелинейные эффекты (сдвиги по частоте) в класс линейных систем без необходимости использовать какие-либо нелинейные операторы для описания наблюдения, а т. н. нелинейную радиолокацию сделать линейной относительно оцениваемого портрета . Последний, кстати, в общем случае также может иметь достаточно произвольную форму, которую и требуется оценить.

Заметно более высоких показателей разрешающей способности радиолокаторов можно добиться при использовании процедур многомерного разрешения. При некотором увеличении времени наблюдения и относительных скоростей перемещения целей повышение размерности обратной задачи естественно, т. к. помимо типовых параметров рассеивателей, таких как их радиальные дальности и скорости, а также пеленги, появляются и высшие производные этих параметров, что создает предпосылки для создания радиолокационных систем с экстремальной разрешающей способностью и повышенными возможностями по распознаванию и селекции целей.

Естественно, что к обратной задаче (1) сводится большинство задач обработки сигналов в радиолокационных системах с прямым и инверсным синтезом апертуры (доплеровским обострением диаграммы направленности антенны), а также в радиолокационных системах дистанционного зондирования Земли и др.

Проекционный подход к решению некорректных обратных задач представлен публикациями [1–3].

Следует подчеркнуть, что в случае, если множество допустимых решений равно всему гильбертову пространству , корректное решение (1) невозможно [1]. Для сведения некорректной задачи (1) к условно корректной широко используется метод регуляризации А. Н. Тихонова, обужающий множество допустимых решений до компактного множества. Однако при наличии характерного для практики существенного уровня шумов наблюдения получение устойчивых решений (1) при регуляризационном подходе затруднено.

Преодоление фактора некорректности (1) при проекционном подходе основано на еще более жестком, чем в методах регуляризации, обужении множества допустимых решений (1). Если в методе регуляризации множество допустимых решений обужается до бесконечномерного компактного множества, существенное количество измерений которого совпадает с векторами первого сингулярного базиса оператора , соответствующими близким нулю сингулярным числам, то в проекционном методе множество допустимых решений предлагается обужать до конечномерного множества-подпространства , все измерения которого соответствуют только векторам первого сингулярного базиса оператора , соответствующим существенно отличным от нуля сингулярным числам. Последнее обеспечивает более высокую устойчивость решения, а исследование закономерностей, определяющих эту устойчивость, и есть предмет проекционной теории [1], расширяющей границы применения проекционного метода Петрова – Галёркина на интегральные уравнения.

Задать конечномерное множество-подпространство – это значит на основе физики задачи задаться некоторым конечным базисом в или спроецировать на это подпространство. На практике это означает, что решение x аппроксимируется суперпозицией (конечным рядом) базисных функций: , где – оператор проецирования; − подлежащие оценке коэффициенты разложения в ряд; – матрица Грама базисных функций; – скалярное произведение в пространстве .

После того, как решение х аппроксимировано рядом , некорректная задача (1) в некотором смысле эквивалента корректно разрешимой (при определенных, как правило, соблюдающихся на практике условиях) задаче оценки n-мерного вектора коэффициентов разложения Е или оценки амплитуд смеси неортогональных сигналов :

. (2)

Оговорка «в некотором смысле» обусловлена тем, что, как правило, на практике или, что то же самое, даже без шумов. Этот, на первый взгляд незначительный, нюанс в корне отличает постановку и некоторые важные особенности решения задачи (1) от рассмотренной эквивалентной (2).

Тем не менее, одной из первых работ, в которой была решена указанная эквивалентная задача (2) и получены аналитические выражения, определяющие устойчивость ее решения, является работа К. Хелстрома [4]. Поэтому предел возможностей по разрешению элементов входного сигнала или соответствующих им элементов выходного сигнала целесообразно называть хелстромовским [1].

Проекционная оценка вектора , соответствующая минимуму нормы невязки , дается выражением [1, 2]:

, (3)

где – n´n-матрица Грама системы выходных сигналов ;
– корреляционный интеграл; – энергетическое скалярное произведение в пространстве наблюдения , учитывающее коррелированность в общем случае шумов наблюдения ν с соответствующим корреляционным оператором .

Используя разложение , математическое ожидание оценки (3) можно выразить через значения коэффициентов рассогласования сигнала и сигналов [1]:

, (4)

где – вектор коэффициентов разложения в базисе .

Из (4) следует, что при надлежащем выборе пробного базиса и , математическое ожидание проекционной оценки портрета стремится к проекции портрета на пробное пространство , в данном случае, с учетом , стремящейся к .

Корреляционная матрица шумов , содержащихся в проекционных оценках, определяет устойчивость проекционного решения (3) задачи (1) к шумам наблюдения (хелстромовский предел разрешающей способности) и подчиняется зависимости [1]:

(5)

Из (5) следует, что . Обобщая понятие функции неопределенностей Ф. М. Вудворда, и определяя ее величиной , приходим к следующей фундаментальной закономерности: квадрат объема эллипсоида рассеяния проекционной оценки (3) равен значению функции неопределенностей.

Приведенное теоретическое положение, совместно с (4), позволяет выполнять аналитические исследования закономерностей влияния различных факторов на качество формируемых решений, а также определять пороги при решении статистической задачи оценки размерности базиса . Предложена многосеточная процедура задания базиса [1–3], асимптотически оптимальная согласно расширенному критерию Неймана – Пирсона и позволяющая в условиях существенного уровня шумов наблюдения получать устойчивые оценки .

Проверка адекватности полученных закономерностей, а также оценка эффективности предлагаемых способов обработки сигналов проводилась как с помощью математического, так и с помощью физического моделирования [1]. Полученные результаты позволяют утверждать, что проекционный метод при типовых отношениях сигнал/шум (10–20 дБ) позволяет многократно (в 2–10 раз) преодолеть рэлеевский предел на разрешающую способность радиолокаторов и вплотную (до разницы 2–3 дБ) приблизиться к хелстромовскому.

Литература:

1. Чижов А. А. Сверхразрешение. Germany, Saarbrücken: LAMBERT Academic Publishing, 2012. 216 с.

2. Чижов А. А. Сверхрэлеевское разрешение. Т. 2: Преодоление фактора некорректности обратной задачи рассеяния и проекционная радиолокация. М.: КРАСАНД, 2010. 104 с.

3. Чижов А. А. Метод разрешения групповых сосредоточенных целей// Радиотехника, 2009, № 10, с. 4–12.

4. Helstrom C. W. The resolution of signals in white Gaussian noise. IRE Proc., 1955. V. 43. N 9. Sept. PP. 1111–1118.