Магистр математики, магистр менеджмента, старший
преподаватель кафедры «Высшая математика» Омарова М.Т.
Магистр экономических
наук, преподаватель кафедры «Финансы, налогообложение и страхование» Тынгишева
А.М.
Карагандинский
экономический университет Казпотребсоюза
РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
РАСЧЕТОВ ПРИ СОВЕРШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ СДЕЛОК С УЧЕТОМ ФАКТОРА ВРЕМЕНИ.
В современной экономике роль математического
аппарата, несомненно, возрастает. Профессиональные занятия бизнесом требует,
прежде всего, умения оценивать все возможные варианты финансовых последствий
при совершении различных сделок с учетом фактора времени. Для этого необходимы
определенные математические знания в области финансового вычисления, а также
владением концепцией временной ценностью денег.
Оценка стоимости денег во времени. Концепция
такой оценки базируется на том, что стоимость денег с течением времени
изменяется с учетом нормы прибыли, сложившейся на финансовом рынке, в качестве
которой выступает ставка ссудного процента или норма доходности по
государственным ценным бумагам [1, c. 8].
Из принципа временной стоимости денег (Time
Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:
Ø
необходимость
учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых
операций;
Ø
некорректность
суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.
Рассмотрим элементы
инструментария математико-финансовых вычислений: проценты, процентные ставки,
наращение процентов, дисконтирование. Под процентами (interest),понимают
абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме:
выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет,
покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д. Какой бы вид или происхождение
ни имели проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории,
как ссудный процент. Практика применения процентов была известна в древнем
Вавилоне, в Индии, в Древнем Риме. Индийские математики вычисляли проценты,
применив так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели
производить и более сложные вычисления с применением процентов. Римляне
называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.
Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент,
взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении
процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам. В средние века в
Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на
умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только
проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты. Отдельные конторы
и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои
особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые
опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из
города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных
открытий, в том числе особой записи десятичных дробей [2]. Таким образом,
проценты бывают сложные и простые.
Рисунок 1 – Простые и сложные
проценты
Рассмотрим основные
понятия при расчете сложных и простых процентов в процессе наращения и
дисконтирования. Процентная ставка – удельный показатель, в соответствии с которым
в установленные сроки выплачивают сумму процентов в расчете на единицу капитала
(вклада). На практике процентная ставка выражает соотношение годовой суммы
процентного дохода к объему основного долга. Будущая стоимость денег (Future Value, FV) – сумма вложенных в
настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный
период времени с учетом выбранной процентной ставки.
Настоящая стоимость
денег
(Present Value, PV) – сумма будущих денежных средств (вклада), приведенных с
учетом конкретной процентной ставки к настоящему моменту времени. Наращение стоимости (компаундинг –
compounding) – процесс пересчета настоящей стоимости денежных средств (вклада)
в их будущую стоимость в конкретном периоде времени путем добавления к
первоначальной сумме начисленной величины процента.
Дисконтирование
стоимости
(discounting) – процесс приведения будущей стоимости денежных средств (вклада)
к их настоящей стоимости путем исключения из будущей суммы соответствующей
величины процента (дисконта). Посредством такой финансовой операции достигают
сопоставимости текущей стоимости предстоящих денежных потоков.
Период начисления – общий период времени,
в течение которого осуществляют процесс наращения или дисконтирования денежной
суммы (вклада).
Интервал начисления – это минимальный
период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Рассмотрим наращение
по простым и сложным процентам.
Простые проценты используются в краткосрочных
финансовых операциях, срок проведения которых меньше года или равен ему.
Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:
FV = PV(1 + r × n), (1)
где FV — будущая стоимость; PV – первоначальная сумма, r –
процентная ставка, n – период времени.
FVn = PV ((1
+ r1*n1 + r2*n2+…+ rk*nk), (2)
где ri – i-тая процентная ставка за период времени ni,
i =
1,…,k.
Сложные проценты применяются, как правило, в
финансовых операциях, срок проведения которых более года. При этом базой
исчисления процентов является как исходная сумма финансовой операции, так и
сумма уже накопленных к этому времени процентов. Наращение по сложным процентам
имеет вид:
FVn = PV
((1 + r)n (3)
Наращение по сложным процентам подразумевает
реинвестирование полученных доходов или капитализацию.
Приведем примеры наращения по простым и сложным
процентам.
Ситуация 1: Какие условия приобретения депозитного
сертификата в размере 700 д.е. на 2 года выгоднее: под 12 % годовых на основе
сложного процента или под 18 % годовых на основе простого процента?
Решение:
1.
Используя формулу (3), при r = 0,12, получим:
FV = 700(1 + 0,12)2 = 878 д.е.
2.
Используя формулу (1), при r = 0,18, получим:
FV = 700 (1 + 0,18 * 2) = 952 д.е.
Таким
образом, видно, что приобретение депозитного сертификата в размере 700 д.е. на
2 года выгоднее по простым процентам под 18% годовых.
Есть ситуации, когда нужно найти период начисления
или первоначальную стоимость, зная все остальные данные, тогда преобразовывают
формулы (1-3).
Ситуация 2: Через сколько лет вклад, равный 1
000 д.е. при процентной ставке 20% годовых превратится в 11 000 д.е.?
Решение:
Т.к.
процентная ставка – 20% (простые проценты), то это используем формулу (1),
выразив из нее n:
n = (FV /
PV – 1) / r,
n = (11 000/1 000 – 1) /
0,2 = 50 лет
Таким
образом, только через 50 лет 1 000 д.е. при 20% ставке превратится в 11 000
д.е.
Ситуация 3: Кредитное учреждение предлагает
своему клиенту следующие условия предоставления ссуды сроком на 1 год: первое
полугодие – 20% годовых, каждый следующий квартал ставка возрастает на 2%.
Проценты начисляются только на первоначальную сумму кредита. Определить
наращенную сумму долга, если банк предоставил ссуду в размере 50 000 д.е.
Решение: Т.к. в данном случае есть три периода с
разной процентной ставкой, то нужно использовать формулу (2):
FV = 50 000 (1 + 0,5 * 0,2 + 0,25 * 0,22 + 0,25 * 0,24) = 60
750 д.е.
Таким
образом, наращенной суммой долга будет 10 750 д.е.
Начисление сложных процентов может
осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается
номинальная ставка процентов j – годовая ставка, по которой определяется
величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
При m равных интервалах начисления и номинальной
процентной ставке j эта величина считается равной j / m. Тогда, если срок финансовой операции составляет n лет,
выражение для определения наращенной суммы (16) примет вид:
(4)
При увеличении числа периодов начисления m
будущая величина FVmn также возрастает [3].
Рассмотрим пример начисления сложных процентов
по полугодиям и поквартально.
Ситуация 4: Первоначальная вложенная сумма равна
200 тыс. тенге. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании
сложной ставки ссудных процентов в размере 12% годовых, если проценты
начисляются по полугодиям и поквартально.
Решение:
Т.к. начисления производятся по полугодиям, тогда получим,
что n = 5, m = 2, j =
0,12. Используем формулу (4):
FV = 200(1 + 0,12 / 2) 2*5 = 200(1
+ 0,06) 10 = 361,2 тыс. тенге.
Из той же формулы получим для поквартального
начисления:
FV = 200(1 + 0,12 / 4) 4*5 =
200(1 + 0,03) 20 = 358 тыс. тенге.
Таким образом, для клиента выгоднее будет
начисление процентов по полугодиям.
Математическое дисконтирование представляет
собой задачу, обратную наращению, и сводится к определению величины PV по известным значениям величин FV,
r, n. С учетом
принятых обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь
следующий вид:
PV = FV / (1 + r * n) (5)
Разность FV – PV
называют дисконтом, или скидкой,
а используемую норму приведения r – декурсивной ставкой процентов.
При
расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по
сложным процентам используется следующая
формула:
PV = FV / (1 + r) n (6)
где PV – первоначальная сумма вклада;
FV – будущая стоимость вклада
при его наращении, обусловленная условиями инвестирования;
r – дисконтная ставка, выраженная
десятичной дробью;
n – количество интервалов, по которым осуществляется
каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.
Рассмотрим примеры расчета настоящей стоимости
денежных средств, используя формулы простых и сложных процентов.
Ситуация 5: Сколько средств надо положить под 15
% годовых на основе 1) сложного процента; 2) простого процента, начисляемого
ежегодно, чтобы получить через 3 года 500 д.е.? Какой из данных случаев выгоднее
будет клиенту?
Решение:
1) Сложные проценты по формуле (6):
PV =
500 / (1 +
0,15)3 = 328,8 д.е.
2) Простые проценты, используя формулу (5):
PV =
500 / (1 + 0,15 * 3) = 344,8 д.е.
Таким образом, на основе результатов решения
данной задачи, выгоднее положить 328,8 д.е., на основе сложного процента, чтобы
в будущем получить 500 д.е.
При оценке стоимости денег во времени по сложным
процентам необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое
влияние не только используемая ставка процента, но и число интервалов выплат в
течение одного и того же общего платежного периода. Иногда оказывается более
выгодным инвестировать деньги под меньшую ставку процента, но с большим числом
интервалов в течение предусмотренного периода платежа [4].
Таким образом, учет фактора времени осуществляется с помощью методов наращения и
дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений.
Литература
1.Финансовая
математика: учебное пособие – Е.В. Ширшов, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова – 5-е
изд., перераб. и доп. – М.: КНОРУС, 2010. – 144 с.
2.
http://matuha.ru/istoriya-matematiki/istoriya-vozniknoveniya-protsentov
3.
Е.Г. Моисеева «Учет фактора времени в финансовых расчетах» «Справочник экономиста» № 10, 2009.