Технические науки/12. Автоматизированные системы на производстве

К.т.н. Кудубаева С.А

Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова

Анализ вероятностных характеристик процесса реализации производственных операций

Использование стохастического описания реализации производственных процессов позволяет решать задачу нахождения математического ожидания и стандартного отклонения директивного времени на их реализацию в условиях неопределенности. Для сложного производственного или технологического процесса директивное время рассматривается как случайная величина, описываемая подходящей функцией распределения с конечным математическим ожиданием и дисперсией [1]. Для получения дисперсионных оценок необходимы некоторые предположения, касающиеся стохастических характеристик каждого элемента производственной структуры в стандартных и, если необходимо, аварийных условиях.

Согласно [2], узлы стохастической сети могут быть интерпретированы как состояния процесса, а дуги - как переходы из одного состояния в другое. Такие переходы можно рассматривать как реализацию обобщенных операций производства, характеризуемых плотностью распределения, или функцией массы, и вероятностью выполнения. Таким образом, получается стохастическое графовое представление производственных процессов, где узлы являются входом и выходом для операций. Дуги характеризуют время выполнения реальной производственной операции.

Каждый внутренний узел стохастической сети выполняет две функции, одна из которых касается входа в узел, а другая - выхода. Обычно эти функции называют входной и выходной. В [2] определен следующий тип входной функции: узел выполняется, если выполнена дуга, входящая в него, при условии, что в заданный момент времени может выполняться только одна дуга.

Для выхода там же определены два типа выходной функции: детерминированный выход и вероятностный выход. Для детерминированной выходной функции характерна ситуация, когда все дуги, выходящие из узла, выполняются, если этот узел выполнен. Для вероятностной выходной функции - ровно одна дуга, выходящая из узла, выполняется, если узел выполнен. Выбор такой дуги может быть описан с помощью функции распределения вероятностей.

Процедура, предлагаемая для анализа вероятностных характеристик процесса реализации производственных операций, базируется на стохастических сетях типа GERT (Graphical Evaluation and Review Technique) и совмещает теорию потоков в графах, функции генерации момента и PERT – анализ для получения результата. Можно установить следующие соотношения между сетями PERT-типа, графами с потоками и стохастическими сетями.

1. Сети PERT-типа соответствуют стохастическим GERT-сетям, в которых все узлы являются детерминированными "И"- узлами (And - Deterministic).

2. Графы с потоками соответствуют стохастическим сетям с простым

мультипликативным параметром (все аддитивные параметры, такие как время, установлены равными нулю). Вероятностная интерпретация для мультипликативного параметра исключена из рассмотрения.

Рассмотрим реализацию производственного процесса (программы), заданную сетью G=(N, A), которая содержит только GERT-узлы, образующие множество N.

Пусть время выполнения операции (для стохастической интерпретации реализации) есть случайная величина . По определению может быть выполнена только в том случае, если выполнен узел i. Поэтому для изучения вопросов, связанных с выполнением этой операции, необходимо знать условную вероятность (в дискретном случае) случайной величины при условии, что узел выполнен. Это, в свою очередь, позволит нам провести исследования, связанные с выполнением всей сети. В частности, можно определить моменты распределения времени выполнения сети, с помощью которых будут вычислены математическое ожидание и дисперсия времени выполнения сети.

В [2] описаны некоторые наиболее важные функции распределения и указаны соответствующие производящие функции моментов и первые (математические ожидания) и вторые центральные моменты.

Пусть - вероятность того, что операция будет выполнена при условии, что узел выполнен. Для случайной величины определим W-функцию как , где – условная производящая функция моментов случайной величины[2]. С помощью этого преобразования всегда можно определить сеть G', структура которой идентична структуре сети G, только вместо двух параметров дуг и присутствует один параметр .

Согласно системе GERT-моделей можно включить в описание в качестве параметра дуги время выполнения соответствующей операции производственного процесса. Однако в действительности можно рассматривать любой характерный параметр, обладающий аддитивностью по дугам любого пути. Если времена выполнения сети G представляются независимыми случайными величинами, то для G' справедливы правила эквивалентности (с вычислительной точки зрения):

а) для случая, когда G' состоит из двух последовательных дуг;

б) G' - из двух параллельных ветвей;

в) G' - из одной ветви и одной петли.

В нашем случае важно рассмотреть подход к минимизации времени и максимизации прибыли при анализе реализуемости с учетом стохастической реализации производственного процесса. Первоначально рассмотрим простой ациклический детерминированный процесс, который имеет "GERT-подобную узловую логику". Такую модель будем называть сетью для планирования.

Определение (1) Ациклическую сетевую модель – только с одним истоком и со стоками назовем сетью для планирования/решения, если каждый узел из N определен через входную характеристику и выходную характеристику, где множество узлов обозначается V, а множество дуг – E; - мощность множества предшественников и последователей узлов I соответственно. Эти характеристики, формирующие узловую логику, имеют следующие значения:

(1а) - узел активируется сразу же, как только входные действия − завершаются;

(1б) - как только узел активирован, то не более выходных действий начинает выполняться, если узел не активируется, то ни одно выходное действие не выполняется.

В заключение необходимо отметить, что рассмотренная GERT-сетевая модель, является своеобразной альтернативой традиционным методам определения директивных времен реализации производственных процессов. При использовании традиционных методов предполагается, что время выполнения каждой отдельной операции постоянно. После суммирования этих времен в полученный результат вносится некоторая поправка с целью учесть случайные колебания или устранить неустойчивость действительных времен. Система же GERT-моделей позволяет включать случайные отклонения и неопределенность, возникающие непосредственно во время выполнения каждой операции производственного процесса. Следовательно, в полученный результат уже включены все случайные колебания и нет необходимости вносить в него дополнительные поправки, не считая тех, которые соответствуют аварийным производственным ситуациям.

Литература:

1. Корячко В.П., Шибанов А.П., Шибанов В.А. Численный метод нахождения закона распределения выходной величины GERT-сети // Информационные технологии, 2001, № 7,.с. 16-21.

2. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. М.: Мир, 1984

3. Шибанов А.П. Нахождение закона распределения выходной величины GERT-сети большой размерности // Информационные технологии, 2002, № 1, с. 42-45.