Секция:
Технические науки. Механика
Б.И.
Антонов
Одесский национальный морской университет
В.Б. Удолатий
Одесская
национальная морская академия
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ БРУСА ИЗ
НЕОДНОРОДНОГО МАТЕРИАЛА
Под неоднородным материалом будем понимать функционально-градиентный материал (ФГМ), то есть материал, созданный из двух или более компонентов. Для такого материала механические свойства каждого компонента изменяются в определенном направлении в соответствии с заданным законом. Одной из важных характеристик компонентов, образующих композитный материал, является модуль упругости, от которого зависит жесткость последнего. Многокомпонентные материалы с заданным функциональным изменением механических свойств нашли широкое применение в космической технике, оптике, преобразователях энергии, электронных устройствах, химической промышленности, медицине.
Модуль продольной упругости 
материала является
важной характеристикой, определяющей величину критической силы сжатого бруса.
Поэтому исследование устойчивости бруса
из материала, модуль продольной упругости которого изменяется вдоль оси бруса
(является функцией абсциссы сечения) представляет актуальную задачу. Для решения данной задачи целесообразно использовать метод конечных
элементов (МКЭ).
Рассмотрим конечный элемент (КЭ) бруса, в
каждом естественном узле которого предусмотрено по три степени свободы: осевое
перемещение 
, нормальное перемещение
и угол
поворота сечения 
(рис. 1). В этом случае вектор-столбец узловых
перемещений КЭ имеет структуру
. (1)
Рис. 1. Конечный элемент бруса
Принятая структура вектора-столбца (1)
позволяет представить функции осевых 
и нормальных 
перемещений точек оси
КЭ в виде:
; (2)
. (3)
Выражения (2) и (6) целесообразно записать в матричной
форме:
; 
, (4)
где
; 
- матрицы-строки координатных функций;
; 
-
векторы-столбцы подлежащих определению множителей.
Выражения (4) можно записать в более компактной форме
, (5)
где
; (6)
.
(7)
Применив выражение (5) для формирования
кинематических условий в узлах КЭ,
получим
, (8)
где 
- неособенная квадратная матрица
преобразования.
Из выражения (8) найдем
.
(9)
Нетрудно установить, что квадратная матрица 
имеет структуру
;
Выражение (5) с учетом зависимости (9) преобразуется к виду
.
(10)
Будем предполагать, что брус загружен
осевыми силами, которые могут изменяться в пределах КЭ по линейному закону
, (11)
где 
и 
- значения продольной
силы в сечениях левого (
) и правого (
) узлов КЭ.
Потенциальная энергия деформации КЭ с учетом осевых сил может быть вычислена по
формуле
, (
12)
где 
- площадь поперечного
сечения бруса; 
- центральный момент
инерции поперечного сечения бруса; 
- модуль продольной
упругости материала бруса.
Примем, что в пределах длины КЭ модуль продольной
упругости материала изменяется по
линейному закону
, (13)
где 
и 
- значения модуля продольной
упругости материала в сечениях левого (
) и правого (
) узлов КЭ.
Выражение (12) с учетом зависимостей (10), (11) и (13) преобразуется
к виду
, (14)
где
(15)
-
матрица упругой жесткости КЭ;
(16)
-
матрица геометрической жесткости (матрица устойчивости) КЭ.
В выражениях (15) и (16) обозначено
; (17)
.
. (18)
В формулах (17) и (18) обозначено:
;
;
;
.
Элементы матриц (17) и (18) получены в явном виде, но здесь не приводятся.
Матричное уравнение для анализа
устойчивости упругой системы (бруса) имеет
вид [2]
,
(19)
где 
, 
-
матрица упругой жесткости и матрица устойчивости бруса (ансамбля конечных
элементов) соответственно; 
- вектор возможных узловых перемещений бруса,
при которых вторая вариация от полной его энергии равна нулю.
При формировании матриц жесткости 
, 
бруса необходимо использовать уравнения (15) и (16) для вычисления элементов матриц жесткости отдельного КЭ.
Примем,
что осевые силы 
изменяются
пропорционально одному параметру
, (20)
где 
- параметр, имеющий размерность силы.
Выражение
(19) с учетом равенства (20) преобразуется к виду
. (21)
Уравнение
(21) является более простым, так как новая матрица устойчивости 
системы не содержит неизвестных амплитуд внешних
критических нагрузок, что значительно упрощает решение задачи.
Условие
существования искривленных равновесных состояний упругой системы на основании
уравнения (21) запишется в виде
. (22)
Для
определения корней уравнения (22) можно
воспользоваться алгоритмом, рассмотренным
в работе [2]. Практический интерес
представляет наименьший корень уравнения (22).
Для иллюстрации свойств разработанного
КЭ выполнен расчет бруса длиной 
= 2,0 м.
Рассмотрены две схемы
идеализации бруса: а) 4 - я и б) 8 - ю КЭ при равномерной сетке. Проанализировано влияние на величину критической
силы бруса переменности вдоль его оси модуля продольной упругости 
материала. Закон изменения модуля продольной упругости материала бруса определяется
выражением
. (23)
Рассмотрены
следующие значения множителя 
(ГПа)
. (24)
Значение 
= 0 соответствует брусу из однородного материала с модулем
продольной упругости 
2,0 ГПа. На рис. 2 приведены графики зависимости (23)
для значений множителя 
(24).
Рис.2. Закон изменения модуля продольной упругости 
материала
Графики, приведенные на рис. 2,
характеризуют линейный закон изме-
нения модуля продольной упругости от минимального значения 
=2,0 ГПа в торцевых сечениях до максимального значения 
= {2, 3, 4, 5, 6} ГПа в среднем поперечном сечении бруса.
Критическую силу сжатого бруса можно вычислить
по формуле
, (25)
где 
- минимальный центральный
момент инерции поперечного сечения бруса; 
- множитель. Для всех рассмотренных расчетных случаев
принято - 
= 2 ГПа.
В табл. 1 приведены значения множителя 
для трех расчетных схем бруса и пяти отношений 
. Параметр 
характеризует тип
опорных закреплений бруса из однородного материала. Нетрудно установить, что
для этого расчетного случая 
. Других пояснений
табл. 1 не требует.
Таблица 1
Значения множителя 
|
|
Расчетные
схемы бруса |
|||||
|
|
|
|
||||
|
Сетка |
Сетка |
Сетка |
||||
|
4
КЭ |
8
КЭ |
4
КЭ |
8
КЭ |
4
КЭ |
8
КЭ |
|
|
1,0 |
1,001 |
1,000 |
2,050 |
2,050 |
4,030 |
4,002 |
|
1,5 |
1,343 |
1,340 |
2,582 |
2,580 |
4,976 |
4,950 |
|
2,0 |
1,670 |
1,670 |
3,085 |
3,080 |
5,842 |
5,810 |
|
2,5 |
1,990 |
1,970 |
3,571 |
3,500 |
6,659 |
6,61 |
|
3,0 |
2,317 |
2,310 |
4,047 |
4,030 |
7,446 |
7,411 |
Результаты численного эксперимента,
приведенные в табл. 1, иллюстрируют быструю
монотонную сходимость МКЭ к точному решению, так как расхождение значений множителя 
для рассмотренных
схем идеализации бруса не превышает 2,01 %.
По данным табл. 1 построены графики
(рис. 3), характеризующие взаимосвязь множителя 
и функции 
.
Рис. 3. Зависимость множителя 
от 
Графики, приведенные на рис. 3, иллюстрируют возможность значительного увеличения
критической силы сжатого бруса в результате применения для его изготовления материала,
механические свойства которого изменяются
надлежащим образом в заданном направлении.
Литература:
1. Антонов
Б.И. Решение статических и динамических задач для бруса
переменного сечения методом конечных элементов // Вісник ОНМУ. –
Одесса: ОНМУ, 2005. – Вип. 17. – С. 271-281.
2. Антонов
Б.И. Об одном алгоритме решения обобщенной проблемы
собственных значений // Современные проблемы судостроения и судоремонта
[ОИИМФ]. М:. В/О «Мортехинформреклама», 1991. С. 78-81.