Математика/ 1.Дифференциальные и

интегральные уравне­ния.

К.ф.-м. н., доцент  Ысмагул Р.С. 

Студент спец.  «Математика» Титова А.А.

Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова, Казахстан

 

Применение метода укорочения для построения почти многопериодического решения -систем

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида  [1]

     ,                     (1)

и  укороченное по  уравнение

                           ,                                     (2)

где  - -векторы;  - счетномерный вектор, 

                                

есть укороченный дифференциальный оператор.

Пусть . Тогда    .          

Мы знаем, что       .

Пусть  - характеристическая функция оператора  и удовлетворяет интегральному уравнению

                       .                                                     

Пусть для линеаризованного однородного уравнения

                                                                                         (3)                      

существует матрица типа Грина  , удовлетворяющая условию

                                                                                           (4)

с постоянными ,  для всех , где - достаточно большое натуральное число.

Лемма . Если выполнены условия  для  и  и условие (4), то при  и конечных фиксированных значениях  последовательность  сходится по норме  к матрице  типа Грина для уравнения , причем

                          

.                     

Теорема. Пусть относительно величин ,  и  выполняются условия   и пусть уравнение (3) имеет матрицу типа Грина, удовлетворяющую условию (4). Тогда можно указать  и  такие, что при ,  уравнение (2) допускает единственное п.м.п. -решение ,  причем 

                 

в смысле сходимости по норме.

Доказательство. Из выполнения условий  и  (4) на основании теоремы следует, что уравнение (2) при ,  имеет единственное п.м.п. решение. Обозначим его через  , опуская зависимость от параметров  и . Это решение удовлетворяет интегральному уравнению

                  .       

Пользуясь усиленным условием Липшица [2], можно записать

.

     С другой стороны, вектор-функция   п.м.п.,  поэтому имеем

.

Теперь с учетом оценки (4)  будем иметь

          

Если  и , то

                                            .                                    (5)

Из  (4) ясно, что при  имеем . Тогда из (5) следует, что

при .  Следовательно,

равномерно по  . Теорема  доказана.

 

Литература:

1 Умбетжанов Д.У. Почти периодические решения дифференциальных   уравнений в частных поризводных.  -Алма-Ата: Наука, 1979. - 188 с.

2 Жаутыков О.А. Счетные системы дифференциальных уравнений и их применение./Дифференциальное уравнение. Т.I, №2.-Алма-Ата,1965.С.16-17.