А.И. Долгарев

МОДУЛЬ НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

КАК ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ КОМПАКТНОГО

ДЕЙСТВИТЕЛНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Ранее установлено, что множество вращений плоскости вокруг неподвижной точки является компактным 1-мерным мультипликативным линейным пространством над полем действительных чисел . Ниже получено, что периодическая часть этого линейного пространства есть циклическое линейное пространство и над и над . Все модули, содержащиеся в периодической части циклические и являются прямыми произведениями примарных линейных пространств над полями Галуа. Порядок рациональной, но не целой степени линейного пространства равен , и различные простые.

Согласно [1], повороты плоскости вокруг начала координат составляют компактное мультипликативное линейное пространство над полем действительных чисел . Повороту плоскости вокруг точки на угол соответствует комплексное число модуля 1

, .

Всякое действительное число является суммой , , здесь кольцо целых чисел, выполняются равенства . Если еще , то

.

В [1] определена операция (альтернативная степень)

, .

Свойства степеней: , , . На мультипликативной группе комплексных чисел, отличных от нуля, имеется внешняя операция возведения комплексных чисел в альтернативную степень и существует мультипликативное действительное линейное пространство комплексных чисел, [1, теорема 1]. Множество комплексных чисел модуля 1 является действительным мультипликативным линейным пространством , [1, теорема 3], оно компактно, [1, теорема 4], и состоит из корней произвольных степеней из 1.

1. Модули и линейные пространства поворотов

правильных вершинников

Поворот порядка на угол , , отображает правильный вершинник сам на себя. Имеется группа поворотов: =. Целая степень поворота из есть поворот из . Следовательно, справедлива

1. Лемма. Множество поворотов правильного вершинника является модулем. #

Если , то группа имеет подгруппы и соответственно порядков и . В любом случае группа циклическая. Группа есть прямое произведение подгрупп и , [2, лемма 1]. В [2, теорема 3] указана схема построения циклической группы по циклическим группам и . Вершины вершинника составляют вершинников и вершинников. Вершины вершинника составляют вершинников. Вершины 4-вершинника распределяются по двум 2-вершинникам.

2. Лемма. Множество поворотов вершинника является мультипликативным линейным пространством над полем Галуа = , но не подпространство в . #

Линейное пространство не подпространство в , так как линейные пространства определены на одном носителе, но над различными полями. Пространство поворотов над полем обозначаем также , считая его модулем.

3. Лемма. модуль совпадает с модулем .

# Для всех чисел из класса вычетов , , кольца степени являются одним и тем же поворотом. #

2. Рациональные повороты

При умножении поворотов порядка и порядка их порядки перемножаются, а величины углов поворотов суммируются: = . Рациональному числу соответствует поворот плоскости порядка . При этом сам на себя отображается вершинник. Существуют повороты на углы , где число рациональное, , . Повороты , , называются рациональными.

4. Теорема. Целые степени рациональных поворотов составляют модуль (в частности, линейное пространство над полем Галуа).

# Поворот плоскости на угол имеет порядок , так как есть поворот на угол . Повороту соответствует комплексное число с аргументом , его альтернативная ая степень есть комплексное число с аргументом , который сравним с 0 по . Всякая целая степень поворота на угол = является поворотом не более чем го порядка, так как = , а поворот имеет порядок . Тогда порядок поворота не превосходит . Циклическая порядка исчерпывает все целые степени поворота . Вместе с тем имеем модуль .

Если , то рассматриваемый модуль рациональных поворотов является линейным пространством над полем Галуа = . #

модуль, содержащийся в периодической части компактного линейного пространства и являющийся линейным пространством над полем Галуа , далее обозначаем .

5. Теорема. модули и изоморфны.

# Циклические группы и имеют один и тот же порядок. #

6. Теорема. Для всех рациональных чисел , , существует единственный модуль порядка поворотов .

# Утверждение является следствием теоремы 4. #

3. Периодическая часть

компактного действительного линейного порядка

Каждый угол поворота плоскости вокруг неподвижной точки есть поворот на угол , . Возможно, что (а) число целое, (б) число рациональное не целое, (в) число иррациональное. В случае имеется модуль поворотов , порядки поворотов делят число , лемма 1. В случае имеется модуль поворотов , порядки поворотов делят число , теорема 4. Пусть число иррациональное. Повороту на угол соответствует комплексное число . Его ая альтернативная степень равна и число сравнимо с 0 по , т.е. . Порядком конечного поворота с величиной угла , как всякого элемента группы, является число целое. Для степеней с целыми показателями ( целая часть числа ) имеем , т.е. повороты не являются тождественными. Следовательно, группа поворотов плоскости , соответствующая иррациональному числу, является бесконечной.

В группе поворотов плоскости, изоморфной , выделяется подгруппа поворотов конечного порядка, периодическая часть группы . Это есть и периодическая часть компактного линейного пространства над : .

7. Теорема. Периодическая часть компактного действительного линейного пространства является модулем .

# В периодическую часть пространства входят целые и рациональные повороты и только эти повороты. Целая степень каждого из этих поворотов есть целый или рациональный поворот. #

8. Теорема. модуль является подмодулем модуля .

9. Теорема. модуль представляет собой прямое произведение примарных линейных пространств над полями Галуа = .

# Как абелева группа , состоящая из элементов конечных порядков, распадается в прямое произведение примарных подгрупп , простые. Ввиду периодичности группы существует наибольшая степень элементов из . Степени элементов из с показателями из поля содержатся в . Значит, является линейным пространством над полем . модуль содержит линейные пространства и является их прямым произведением. #

10. Теорема. Всякий модуль из периодической части является циклическим. И модуль циклический.

# Пусть и повороты из одного модуля из и . Порядки этих поворотов есть соответственно и . Обозначим . В теории чисел известно линейное представление наибольшего общего делителя чисел: существуют целые числа , что . Если , то в содержится поворот и . Если , то является циклическим как прямое произведение модулей взаимно простых порядков, [2, теорема 3]. По теоремам 9 и 6 из [1], модуль циклический. # Уточним теорему 9.

11. Теорема. модуль является прямым произведением счетного числа примарных линейных пространств над полями Галуа .

# Множество простых чисел счетно, поэтому линейных пространств счетное множество. #

Порядки поворотов из конечны, порядки составляют множество натуральных чисел. И порядки конечные. модуль квазициклических модулей не содержит, а содержит модули , у которых конечное множество порождающих и конечное множество вложенных циклических подгрупп , код модуля: . Для сравнения [3,с.26].

4. Степени модулей

из периодической части компактного пространства

Ввиду того, что на линейном пространстве определены всевозможные действительные степени, есть смысл рассматривать действительные степени подгрупп группы . Степенью , , подгруппы называется множество элементов вида для всех из . Так как , то есть подгруппа группы . Ниже рассматриваем подгруппы из .

12. Теорема. Иррациональная степень модуля совпадает с .

# Пусть сначала и , см. теорему 10. Повороту соответствует комплексное число . Его ая степень, , есть . Выполняются равенства: , ; это означает, что порядок поворота равен . Итак, , .

Пусть , где и различные простые. Считаем , , . Имеем: = и . Это свойство распространяется на случай большего числа подгрупп в разложении : . # Используется свойство : всякая действительная степень периодической части компактного пространства содержится в периодической части пространства

13. Теорема. Целая степень модуля совпадает с .

# По теореме 10, циклический модуль, пусть . Можно повторить схему доказательства теоремы 12 для и . Если , то . Если , то . Утверждение верно для прямого произведения примарных модулей. #

В доказательствах теорем 12 и 13 рассматриваются модули и их прямые произведения. Каждый из них есть циклический модуль, теорема 10. модуль также циклический порядка , теорема 4. Если , то и теоремы 12,13 верны для . Однако, рассмотрим отдельно.

14. Теорема. Целая степень модуля есть .

# Имеем . Целой степени соответствует . Значит, порядок поворота делит и степень совпадает с . #

15. Теорема. Пусть . Тогда . При , =.

# В соответствии степени соответствует + ,т.е. , значит, . #

16. Теорема. Рациональными степенями линейного пространства , входящего в периодическую часть , являются всевозможные линейные пространства , где есть простые числа, отличные от .

# Имеем рациональную степень , теорема 15. #

Из теорем 12 – 16 следует

17. Теорема. Возводя любой модуль из периодической части компактного линейного пространства , во всевозможные действительные степени получаем все модули из . Периодическая часть пространства является циклической. #

Отметим еще один результат, полученный выше.

18. Теорема. Периодическая часть пространства является линейным пространством над и линейным пространством над полем . #

Литература.

1. Долгарев А.И. Действительное компактное линейное пространство// Материали за 9-а международна научна практична конференция «Настоящи изследвания и развитие», 2013. Том 27. Математика. Физика. Съвременни технологии на информации. София. «Бял ГРАД-БГ» ООД, С. 21 – 28.

2. Долгарев А.И. Квазициклические группы различного типа. // Материали за VIII международна научна практична конференция «Новини на научния прогресс – 2012.» 17 – 25 август 2012, том 9. Математика.Съвременни технологии на информации. София «Бял-ГРАД – БГ» ООД 2012, с. 39 – 46.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. – М.: Мир, 1974. – 335с.