УДК 622:519.635.4

Цветков А.Б., Фрянов В.Н., Петрова О.А.

Сибирский государственный индустриальный университет, Россия

Математическое моделирование взаимодействия двух выработок в горизонтально-слоистом горном массиве

Аннотация: В статье представлены результаты работы комплекса проблемно-ориентированных программ, построенного на концепции синтеза математической модели из неоднородных блоков, в соответствие каждому из которых ставится краевая задача теории упругости. Рассмотрена задача воздействия двух выработок друг на друга.

Ключевые слова: Математическая модель, геомассив, угольный пласт, выработка, вмещающие породы, метод конечных разностей, краевая задача теории упругости, синтез, гравитация.

Tsvetkov A.B., Fryanov V.N., Petrova O.A.

Siberian state industrial university, Russia

Mathematical modeling of interaction of two mine workings in horizontal and flaky mining massif

Annotation: The results of work of complex of problem-oriented programs set on the synthesis concept of mathematical model of heterogeneous blocks is given in the article. A selvage problem of theory of elasticity is put in compliance with every of the blocks. A problem of reciprocal effect of two workings is viewed.

Key words: Mathematical model, geological massif, coal stratum, mine working, enclosing rocks, finite difference method, selvage problem of theory of elasticity, synthesis, gravitation.

В работе представлены результаты математического моделирования взаимодействия двух выработок, полученные с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ. Программный пакет основан на методе синтеза математической модели горного массива из блоков с различными физико-механическими параметрами. Предполагается, что взаимодействие частей массива определяется контактными условиями. Блокам в качестве определяющих соотношений ставятся в соответствие краевые задачи теории упругости с различными физико-механическими свойствами. Поэтому, синтез единой математической модели блочной структуры производится посредством согласования граничных условий краевых задач. Такой метод построения модели позволяет учесть особенности взаимодействия участков массива между собой. Для реализации этой идеи в разработанном пакете применен метод конечных разностей [4], с помощью которого удалось согласовать условия на контактах и синтезировать модели горного массива с одной и двумя выработками. При таком подходе метод конечных разностей применен для построения моделей кусочно-однородного объекта. Метод конечных разностей приводит к меньшей ширине ленты основной матрицы системы по сравнению с методом конечных элементов [5]. Это позволило уменьшить время решения системы линейных уравнений, что актуально при высоком ее порядке и многократном проведении вычислительных экспериментов.

Исходный массив горной породы представлял собой область прямоугольной формы длиной 360 метров и глубиной 300 метров. Вмещающая толща включала два пласта угля прямоугольной формы. Их мощность составляла 3 метра. Первый пласт расположен на глубине 172 метра, а второй 259. Последовательно исследовались две модели этого горного участка. Расчетная область для каждой модели представлена на рисунках 1а и 1б. Сначала была синтезирована модель с одной выработкой, рисунок 1а. После проведения вычислительного эксперимента в первую модель была добавлена вторая выработка – рисунок 1б. С целью выявления влияния второй выработки на первую результаты, полученные на основе исследования построенных моделей, были сопоставлены между собой. Моделирование напряженно-деформированного состояния проводилось с учетом воздействия гравитации.

Рисунок 1 – Расчетная область W:
а – одна выработка, б – две выработки

Модель геомассива в прямоугольной системе координат представлена прямоугольником Ω соответствующих размеров. Расчетная область состояла из пяти подобластей Ω=∑Ω_i, i=1..5. Каждая подобласть характеризует породы определенного типа. При моделировании было принято, что области W₁, W₃ это аргиллит, W₂, W₄ – уголь, W₅ – алевролит. Два угольных пласта W₂, W₄ и три породных слоя W₁, W₃, W₅ были получены рассечением расчетной области прямыми y=172 м, y=175 м, y=259 м, y=262 м.

Далее, последовательно в подобластях Ω₂ и Ω₄ были заданы с помощью дополнительных блоков сначала одна, а затем две выработки. В статье применялись следующие обозначения: горизонтальные, вертикальные перемещения и напряжения соответственно. Физико-механические свойства подобластей определялись величинами: l_i, m_i, ρ_i, _, где l_i, m_i, - постоянные Ламе и ρ_i - плотность Ω_i. Горизонтальные границы задавались уравнениями: y=Н_j, j=1..4.

Построение модели проводилось следующим образом. Для каждого блока прямоугольной формы Ω_i рассматривалась краевая задача теории упругости в следующей постановке. Найти вектор перемещений U=(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y), удовлетворяющий внутри W_i системе дифференциальных уравнений:

(1)

и граничным условиям: u(a,y)=0, u(b,y)=0, u(x,c)=0, u(x,d)=0, , ; ; v(x,d)=0. На внутренних границах Н₁, Н₂, Н₃, Н₄ согласовывались напряжения и перемещения. Боковые границы выработок A, B, C и D имеют координаты x_A, x_B, x_C, x_D. Для проведения вычислительного эксперимента выбраны следующие структурные параметры модели в метрах: a=0, b=260, c=0, d=300, x_A=73, x_B=216, x_C=144, x_D =288, Н₁ =172, Н₂=175, Н₃ = 259 и Н₄ =262.

Краевая задача решались при условии, что массовые силы направлены вдоль оси ОУ и создавались собственным весом пород. Физико-механические свойства задавались следующие: r₁=2600 кг/м³, E₁=2,6×10⁴МПа, n₁=0,28, r₂=1380 кг/м³, E₂=0,3×10⁴МПа, n₂=0,34, r₃=2600 кг/м³, E₃=2,6×10⁴МПа, n₃=0,28, r₄=1380 кг/м³, E₄=0,3×10⁴МПа, n₄=0,34, r₅=2700 кг/м³, E₅=2,8×10⁴МПа, n₅=0,27.

Для решения задачи (1) разработаны программные модули, которые стали частью пакета проблемно-ориентированных программ. Вычислительный эксперимент проводился при 96000 узлах сетки.

Результаты численного решения приведены на рисунках 2а и 2б. На вертикальной оси отложена глубина, а по горизонтали протяженность моделируемого участка. Кривыми изображены линии уровня вертикальной компоненты тензора напряжений. Числа на линиях соответствуют величинам напряжений в МПа. Знак минус соответствует сжимающим напряжениям.

На рисунке 2а приведены результаты численного эксперимента для одной выработки. Штрихпунктирная линия соответствует вертикальным напряжениям величиной –4,47 МПа в нетронутом горном массиве на глубине 172 метра. Жирной пунктирной выделена изолиния, соответствующая –4,47 МПа, но уже при наличии выработки. Из рисунка 2а видно, что эта линия уровня принадлежит окрестностям обоих боковых границ А и B согласно рисунку 1б. Над кровлей выработки образуется область положительных напряжений в форме купола.

Рисунок 2 – Вертикальные напряжения МПа:
а – одна выработка, б – две выработки

На рисунке 2б приведено распределение напряжений при взаимном влиянии двух выработок. Сплошной жирной линией выделена изолиния соответствующая –4,47 МПа. Штрихпунктирная и пунктирная линии уровня соответствуют ее расположению рисунке 2а и перенесены на рисунок 2б для наглядности. Из сопоставления рисунков 2а и 2б следует, что наличие второй выработки приводит к разгрузке пород в краевой части пласта B и междупластья в окрестности точек B и D. Величины напряжений в области боковой границы B верхней выработки в результате подработки уменьшились более чем в два раза.

На противоположной границе верхней выработки в точке A разгрузки не наблюдается. Это подтверждает изолиния, соответствующая –4,47 МПа, проходящая у боковых границ A и С. Эффект разгрузки объясняется суперпозицией полей положительных напряжений в области, расположенной над кровлей нижней выработки и отрицательных напряжений в зоне боковой границы B верхней выработки. В результате взаимной компенсации областей растяжения и сжатия область положительных напряжений, расположенная над кровлей нижней выработки не обладает симметрией. Так как положительные напряжения не наблюдаются за пределами боковых границ нижней выработки, то ее разгружающее воздействие на границу А верхней выработки не наблюдается.

Анализ полученных результатов моделирования согласуется результатами шахтных наблюдений [2, 3]. Таким образом, разработанный комплекс проблемно-ориентированных программ позволяет моделировать взаимодействие выработок друг на друга в условиях воздействия гравитации.

Выводы

1. В статье продемонстрировано практическое применение разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ, реализующего алгоритм синтеза математической модели горного массива, который на основе численного эксперимента позволил интерпретировать результаты натурных наблюдений.

2. В отличие от традиционной схемы применения метода конечных разностей в предлагаемом пакете программ этот численный метод позволил реализовать алгоритм синтеза модели кусочно-однородного объекта с различными физико-механическими свойствами за счет согласования условий на контактах.

3. Проведенное исследование относится к одному из этапов разработки системы компьютерного моделирования на основе комплекса проблемно-ориентированных программ, предназначенной для синтеза математических моделей-кандидатов с целью исследования геомеханических процессов в реальном массиве горных пород с системой выработок.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки по контракту №5.3832.2011.

Литература

1. Динник А.Н. Статьи по горному делу [Текст] / А.Н. Динник. - М.: Углетехиздат, 1957. – 193 с.

2. Фрянов В.Н. Управление геомеханическими процессами при отработке угольных пластов короткими забоями [Текст] / В.Н. Фрянов, П. В. Егоров, В.А. Ковалев, В.Д. Славников; Акад. горных наук, Кемер. отд-ние. - Кемерово: АГН. Кемер. отд-ние, 1999. - 110 с.

3. Калинин С. И. Геомеханическое обеспечение эффективной выемки мощных пологих пластов с труднообрушаемой кровлей механизированными комплексами [Текст] / С.И. Калинин, В.М. Колмагоров. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2002. - 113 с.

4. Рихтмайер Р. Разностные методы решения краевых задач [Текст] / Р. Рихтмайер, К. Мортон. - М.: Мир, 1972. - 414с.

5. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике [Текст] / А.Б. Фадеев – М.: Недра, 1987.

6. Цветков А.Б., Васильев П.В., Петрова О.А. Синтез краевой задачи теории упругости и статического давления для математического моделирования напряженно-деформированного состояния в угольном пласте и вмещающих породах при действии гравитации [Текст] / А.Б. Цветков, П.В. Васильев, О.А. Петрова // Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск). - М.: Горная книга, 2012. – №12. – С. 3-9.

Об авторах

1. Цветков Андрей Борисович – к.т.н., доцент кафедры прикладной информатики ФГБОУВПО «Сибирский государственный индустриальный университет», 654007, Кемеровская обл., г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42, каб. 223Г, atsvet@mail.ru

2. Фрянов Виктор Николаевич – д.т.н., профессор, заведующий кафедрой разработки пластовых месторождений ФГБОУВПО «Сибирский государственный индустриальный университет», 654007, Кемеровская обл., г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42, каб. 474М, zzz338@rdtc.ru

3. Петрова Ольга Александровна – аспирант кафедры разработки пластовых месторождений ФГБОУВПО «Сибирский государственный индустриальный университет», ol_petrova@mail.ru