К.т.н. Обухов А.Н., Зозуля Е.С.

Донбасская государственная машиностроительная академия, Украина

О поперечных перемещениях весомой нити с грузом

на конце при горизонтальном перемещении

ее верхнего конца.

Рассмотрим расчетную схему, изображенную на рис.1. Здесь верхний конец весомой нити растянутой грузом , из равновесного вертикального положения начинает горизонтальное перемещение по закону. Требуется найти поперечное перемещение произвольного сечения нити.

рис.1

Математическую модель поставленной задачи можно представить в виде дифференциального уравнения поперечных перемещений произвольного сечения весомой нити

(1)

решение которого удовлетворяет граничным

, (2)

и начальным условиям

(3)

Здесь - поперечное перемещение нити в сечении ,

-линейная плотность материала нити,

-длина нити,

- закон перемещения верхнего конца нити,

- масса концевого груза,

- ускорение свободного падения.

Рассмотрим случай, когда вес концевого груза намного больше веса нити, пренебрегая им, выше приведенную математическую модель можно переписать как дифференциальное уравнение

решение которого удовлетворяет граничным (2), и начальным условиям (3).

Решение поставленной задачи будем находить операционным методом. Применяя преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению (1), граничным (2) и начальным условиям (3), получим краевую задачу дляобыкновенного дифференциального уравнения

, (4)

решение которого удовлетворяет граничным условиям вида:

, (5)

здесь (6)

, (7)

Общее решение уравнения (4) можно записать в виде

(8)

Используя граничные условия (5) найдем значения

, (9)

Подставляя и в общее решение (8), после несложных алгебраических преобразований решение краевой задачи (4),(5) принимает вид

(10)

Выражение (10)- изображение искомого решения поставленной задачи, применяя обратное преобразование Лапласа, поперечное перемещение произвольного сечения нити в рассмотренном случае можно записать в виде

(11)

Функция (10) аналитична кроме полюсов функции и корней уравнения (12)

Покажем, что корни уравнения (12) чисто мнимые и найдем их. Пусть - корень уравнения (12). Подставляя выражение в (12), получим

(13)

Это равенство выполняется только тогда, когда действительная и мнимая части равны нулю, т.е. модуль этого числа равен нулю. После проведенных алгебраических преобразований модуль этого комплексного числа можно записать в виде

(14)

Так как в равенстве (14) каждое слагаемое неотрицательно, то должны выполняться условия, которые образуют систему равенств

, , , (15)

Это возможно только, когда , а является корнем уравнения

(16)

Обозначив (17)

получим уравнение

для нахождения безразмерного параметра , здесь (18)

Известно, что уравнение имеет счетное множество однократных корней (см. рис.2), при этом они симметрично расположены относительно нуля.

Следовательно, уравнение (12) имеет бесконечное множество однократных корней, которые можно вычислить по формуле

(19)

где при можно принимать .

Используя теорию вычетов, найдем значение интеграла (11) в виде

равенства (20)

где -полюсы функции ,

(21)

здесь - кратность полюса.

Рассмотрим случай, когда верхний конец нити перемещается горизонтально по закону (22)

тогда изображения функции (22) и принимают вид

(23)

(24)

Полюсы изображения (24)-однократны, принимают значения

, ,, (25)

Найдем вычеты в каждом из этих полюсов:

(26)

(27)

(28)

после достаточно громоздких алгебраических преобразований получим

(29)

(30)

Найдем (30) учитывая выражение (29)

(31)

Подставляя в равенство (20)выражения вычетов (26)-(31) получим искомое решение в виде

(32)

(33)

-переносное движение нити, а

(34)

относительное движение, т.е. колебание нити относительно своего равновесного вертикального положения.

Каждый член этого ряда представляет собой, так называемую стоячую волну, при которой точки нити совершают гармоническое, колебательное движение с амплитудой , зависящей от положения этой точки, с частотой и одной и той же фазой

, , (35)

Заметим, что каждому корню отвечает собственная форма колебаний

при этом корню отвечает маятниковая форма колебаний, a для при формы колебаний близки формам колебаний растянутой грузом струны закрепленной по концам. Учитывая начальные условия и выражения (32)-(34), получим, разложение функций в функциональные ряды по системе функций на интервале .

(36)

(37)

Заметим, что полученные ряды равномерно сходятся к функциям на отрезке .

Преобразуем выражение (34) так, чтобы под знаком суммы были безразмерные величины

(38)

Рассмотрим случай, когда верхний конец нити мгновенно переместился на расстояние.

Переходя в полученном решении к пределу , при , учитывая выражения (32), (33) и (38) найдем

(39)

В работе поставлена и решена операционным методом задача о поперечных перемещениях весомой нити растянутой грузом при горизонтальном перемещении ее верхнего конца по заданному закону .

При , решение получено в виде дважды дифференцируемого ряда, равномерно сходящегося на отрезке .

Использование начальных условий, наложенных на решение, позволило получить разложение некоторых функций в равномерно сходящиеся ряды на отрезке .

Литература:

1. Лурье А.И. Операционное исчисление. Гостехиздат , 1950.

2. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. Физматгиз ,1958.

3. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. «Высшая школа», 1970.