Жолдыбаев М.Е.

Актюбинский региональный государственный

университет им. К.Жубанова, Казахстан.

Оценка решений краевой задачи с начальным скачком для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

1. Постановка задачи.

Рассмотрим в области линейное сингулярно возмущенное интегро-дифференциальное уравнение вида:

(1)

,

удовлетворяющее краевым условиям:

, . (2)

Здесь - малый параметр, - независимые переменные, - искомая функция, , и функции заданные в области , а операторы:

,

где функция также задана в области .

Предположим, что:

1) функции ,, и - достаточно гладкие по совокупности аргументов :

2) , , ,

где , - некоторые вещественные числа;

3) функции и являются решениями уравнения характеристики:

соответствующего уравнению (1), и удовлетворяющее начальным условиям

Цель работы: установить оценки решения сингулярно [1] возмущенной краевой задачи с начальным скачком (1), (2);

2. Оценка решения. В данном параграфе доказана следующая

Теорема. Пусть выполнены условия 1)-3). Тогда для решения сингулярно возмущенной краевой задачи (1), (2) в области справедливы оценки вида

,

. (3)

где - некоторое вещественное число, независящее от и .

Доказательство. Пусть и являются решениями однородного сингулярно-возмущенного дифференциального уравнения в частных производных вида:

(4)

соответственно с краевыми условиями:

(5)

(6)

Из [2] следует, что краевые задачи (4), (5) и (4), (6) в области соответственно имеют единственные решения. Следовательно из (4), (5) и (4), (6), получаем следующие оценки:

(7)

.

Легко проверить, что с помощью решения и функции Грина [2] решение сингулярно возмущенной краевой задачи (1), (2) можно представить в виде:

(8)

где [3], - функция Грина [2], а - неизвестная пока функция и она имеет вид:

. (9)

Подставляя (8) в (9), получим следующее интегральное уравнение Фредгольма для :

(10)

где ядро и свободный член имеют представления:

(11)

Ядро , определенное формулой (11), непрерывно в области и при достаточно малых ограничено

.

Обозначим через резольвенту ядра . Тогда резольвента также ограничена в области . С помощью резольвенты решение интегрального уравнения Фредгольма (10) можно представить в виде:

. (12)

Оценим формулу (11). С учетом условия теоремы и оценки (7), получим:

. (13)

В силу ограниченности резольвенты и оценки (13) непосредственно получаем следующую оценку для :

. (14)

Докажем теперь оценки (3). Если оценить (8) и учесть (7), (14), то будем иметь:

. (15)

Из формулы (8) определяя и оценив ее, получим:

(16)

.

Теперь вспомнив, что есть скалярное произведение векторов и , получим

, (17)

где , , .

Из (16), учитывая (17), получим оценки (3) для частных производных , . Теорема доказана.

Литература

1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.Наука, 1981, 400 с.

2. Касымов К.А. Линейные сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения второго порядка. Алма-ата, 1981.

3. Тажимуратов И.Т., Жолдыбаев М.Е., Оценки решений сингулярно-возмущенных уравнений в частных производных второго порядка. // Известия НАН РК. 2000, № 3, с. 56-62.