Таттибеков К.С.

Таразский государственный педагогический институт, Казахстан

Высшие симметрии OSP(2/1) - нелинейное уравнение Шредингера

При групповом анализе произвольная эволюционная система

                                                                             (1)

и ее различные дифференциальные следствия рассматриваются как бесконечномерное многообразие [F] в пространстве переменных

Условие инвариантности многообразия [F] по отношению группы преобразований записывается в виде определяющего уравнения [1]

                                             (2)

где  -операторы полного дифференцирования по t и x соответственно,  - вычисляется с помощью уравнений (1). Решения определяющего уравнения (2) образуют алгебру Ли-Бэклунда допускаемой системой (1).

Один из способов интегрирования связан с вычис­лением алгебры Ли-Бэклунда, включающий в себя множество высших симметрий уравнения. Этот подход позволяет систематический нахо­дит частные решения, причем высшие симметрии связаны с решениями солитонного типа [1,2]. В этой работе построены группы симметрии уравнений OSP(2/1)-S3.

Так в работах [3,4] были построены - градуиро­ванное суперобобщение нелинейного уравнения Шредингера OSP(2/1) - S3:

                              

                                                (3)

                        

                        

где  - функция четности, т.е  - коммутирующие,  - антикоммутирующие искомые функции.

Система уравнений (3) является условием совместности ли­нейной системы

                                     .

Здесь -   где    -  генераторы супергруппы  OSP(2/1):

          удовлетворяющие коммутационным соотношениям

          

          

          

          

где st-операция супертранспонирования, [,]-коммутатор, {,}- антикоммутатор.

Непосредственной проверкой нетрудно установить следующие равенства

где  Н =  – ортосимплектическая матрица супергруппы

OSP(2/1),

Система уравнений OSP(2/1)-S3 (3) как интегрируемое уравнение обладает N - солитонным решением, бесконечным числом интегралов движения и т.д.

Пусть функции  исчезают при . Тогда плотность   локальных интегралов движения

определяется по рекуррентным формулам

где                  ,

                    

Первые несколько интегралов сохранения

 

Определяющие уравнения для операторов Ли-Бэклунда

допускаемой системой OSP(2/1)-S3  (1) имеет вид  (4):  

 

 

  

Решение определяющего уравнения (2) вида   назовем решением m - порядка и обозначим через . Мы будем рассматривать решение определяющих уравнений (4) явно независящих от х,t.

ЛЕММА. Решение порядка m уравнений (4) имеет вид

                                                          (5)

где а, b, с, d - постоянные числа, функций  - зависят от

Доказательство. Подстановка функций  зависящих от  и их производных по х до m - го порядка вклю­чительно в первое уравнение (4) дает (6):

где многоточием отмечены слагаемые меньшего порядка. Отсюда следует, что должно быть

                                                         (7)

С учетом последнего, уравнение (6) перепишется так

 +

Следовательно,                                                    (8)

Тогда, из (7),(8) следует справедливость первого равенства в (5).

Аналогично поступая со всеми остальными определяющими уравнениями (4), окончательно убеждаемся в справедливости леммы.

Используя указанную в доказательстве леммы схему найдем ре­шения определяющих уравнений первых нескольких порядков;

          

          

                 

                

                     и т.д. 

Нетрудно показать, что по шаговое уточнение алгебры (5) для любого m приведет к справедливости следующих равенств

      

      

где многоточием отмечены слагаемые меньшего порядка, представляю­щие собой сумму однородных многочленов относительно  и их производных по х до порядка 

ТЕОРЕМА. Алгебра Ли - Бэклунда системы нелинейных уравнений OSP(2/1)-S3 коммутативна, ее элементы порядка  вычисляются по рекурентным формулам  (9):

         

        

+

                    

         -

               

 причем 

Доказательство. Сначала покажем, что оператор   в (9) имеет смысл, т.е.

где   - некоторая дифференциальная функция .

Для семейства

уравнений OSP(2/1)-S3 имеем, что

где  означает производную по времени соответствующей потоку k. С другой стороны знаем, что  - плотность закона сохранения, следовательно  т.е. выражение   является полной производной.

Далее подстановка (9)  в  (4) дает

 

,

из которых следует справедливость рекурентных формул (9).

Умножение в алгебре Ли-Бэклунда определим по формуле

где - функция четности. Тогда доказательство коммутативнос­ти построенной алгебры сводится к установлению следующих равенств

для операторов Ли-Бэклунда

Справедливость последних равенств устанавливается непосред­ственной проверкой.

Отметим, что в бозонном случае  полное описание алгебры Ли-Бэклунда проведено в [5].

 

Литература:

1. GurseesM., Qquz O. A super Soliton Connection /Lett.Math.Phys., 1986, v.11, №3, p.235-246.

2. Жибер А.В. Уравнения n - волн и система нелинейных уравне­ний Шредингера /ТМФ, 1982, т.52, №3, с.405-413.

3. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.:Наука, 1983.

4. Kulish P.P. Quantum OSP-invariant nonlinear Schrodinger еquations /Lett. Math. Phys.,1985, v.10, p.87-93.

5. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Пер.с англ. -М.:Мир, 1989, -639 с.