МОДЕЛИ  ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ

                            Евсеев В.И.,

канд. физ.-мат. наук, доцент, Казань, РТ

 

Аннотация.

 

В статье изучаются основные свойства и унарные операции в предлагаемой модели трехзначной логики на основе матричных схем.

Ключевые слова:

типы логических моделей, логические  классы, основное уравнение, отделяющие функции, унарные операции, инверсия, отрицание, логический сдвиг.

 

Annotation.

  Article covers the basic properties of the unary operations and proposed logic model to three values based on matrix schemes. 

Keywords:

 types of logic models, the logical classes, the master equation, which separates the unary operations function, negation, logical shift.

 

1. В статье [1] нами рассмотрены возможности построения моделей и двузначной логике. В предлагаемой заметке методы, примененные в нескольких предыдущих наших статьях (см. [2], [3]) применяются к модели трехзначной интуиционистской логики  .

Модель предлагаемой логической системы строится на базе таблично определенной функции истинности, таблица которой имеет вид:

 

X

H

E

 

В общем случае будем полагать, что

 

                   =

                   =                                                                                (1)

                    = 1 – ,

где 

                   .                                                                             (2)

Отсюда получаем значение параметра класса гипотез

 

                                                                   (3)

 

При значениях получаем линейную модель «мягкой» трёхзначной логики, в противном случае – квадратичную модель.

В настоящей заметке мы остановимся на линейной модели.

Отметим, что при

 

                   = 0 и  = 0

 

получается стандартная равномерная трёхзначная логика Я.Лукасевича.

2. Для построенной модели с помощью функции истинности получаем основное уравнение данной логической системы:

 

                                                                        (4)

Из этого уравнения с помощью стандартной процедуры, описанной в [2],

получаем выражения для отделяющих функций классов истинности в этой логической модели:

 

                                                                                     (5)

                                                                                      (6)

                   .                                                                  (7)

 

Прежде всего, отметим взаимосвязи между этими отделяющими функциями в данной модели:

 

         ++=1,

=0,                ,

=0,                 ,                                         (8)

=0,                  ,

Эти свойства выполняются, естественно, при учете условия (4). Они характеризуют полноту, ортогональность, а также идемпотентность отделяющих функций.

3. В изучаемой модели само аналитическое суждение определяется формулой:

 

          .                              (9)

Здесь указаны следующие части этого суждения:

 

  –  слабо адекватное суждение,

  – частично адекватное суждение,

– сильно адекватное суждение.

 

Семантические характеристики подразумеваются находящимися внутри этих частей. Так, для каждой  части суждения получаем:

                                      (10)

.

Здесь  – значения семантических классов, а – отделяющие функции этих классов.

 

4. Перейдем к  операции отрицания в этой модели.

Отрицание по  своей сути состоит из двух действий: во-первых, это внешнее логическое отрицание, при котором классы меняются местами, а класс остается инвариантным, что можно задать таблицей:

 

 

 

Во-вторых, это – внутренняя, семантическая инверсия, при которой меняются местами классы и , а также и .

Запишем эти положения в матричной форме. Для этого введем основную модельную матрицу данной логики:

 

   

          

 

 

   

 

 

 

 

В дальнейшем мы будем опускать элементы окаймления этой матрицы, оставляя только ее главное содержание.

Размерность этой матрицы (3х4), поэтому внешнее отрицание можно представить в виде «левого» умножения этой матрицы на матрицу, символизирующую  отрицание.

Для трехзначной модели такая матрица принимает вид (3х3):

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

Умножая слева эту матрицу на основную модельную матрицу (без окаймляющих элементов),  получим промежуточную матрицу типа (3х4):

 

 

1

 

1

 

1

 

 

                                                                                                                                                                                                            

=

 

 

 

 

 

                =        

  

 

 

Эта матрица теперь справа умножается на матрицу инверсии  (4х4)

 

 

1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

     =

 

 

 

 

 

 

Эта матрица позволяет записать в явном виде результат логико-семантического отрицания:

  ,                                        (11)

при этом:

                                          (12)

Итак, полное семантическое отрицание оказывается композицией двух частичных преобразований: внешнего отрицания и внутренней инверсии.

5. Аналогично изучим и логический сдвиг (транш), который на логической основе определяется таблицей:

 

1

 

 

 

1

1

 

 

 

                  

 

 

 

Справа указана логическая матрица транша типа (3х3).Этот транш также представляется композицией логической и семантической частей.

Логическая часть получается умножением указанной матрицы на основную модельную матрицу:

 

 

1

 

 

 

1

1

 

 

 

                                                                                                                              =

 

 

 

 

 

=   

 

 

 

Семантическая составляющая транша определяется матрицей (4х4), которая имеет следующий вид:

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

Именно эта матрица умножается справа на промежуточную матрицу логического транша, которая нами только что найдена.

В результате мы получим явное выражение для этого унарного преобразования.

Следует сказать, что после изучения основных бинарных операций конъюнктивного типа, становится ясно, что все остальные бинарные операции получаются из основных путем внешних или внутренних унарных операций.

Проведем заключительное умножение матриц:

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

                                                                                                                        =

                                                                                        

 

 

 

   =   

 

 

 

Формулы этого транша записываются аналогично с  уже полученными для отрицания результатами. Таким образом, изучение унарных операций для этой модели логической системы завершено.

 

Литература:

 

1.Евсеев В.И. Применение матричных методов в логических системах// Уч.  записки  ИСГЗ, № 2(11),Казань, 2013 г. (86 – 101).

2. Евсеев В.И. Основы аналитической семантики. Монография. Изд – во «Lambert», Германия, 2014 г.

3. Евсеев В.И. Логическое обоснование семантических структур// «Феномены природы и человека», т.3. Казань, 2008.(94 – 101).