Математика/4.Прикладная математика

Рябоштан А.Ф., Миленин А.Н.

Харьковский национальный технический университет

сельского хозяйства им. П. Василенко

Применение переходных функций для конструирования обвода лопатки газовой турбины

Рассмотрим дугу обвода, проходящую через точки  и  и ее производных , , , . Уравнение дуги можно записать в виде

,                           (1)

где  - переходные функции от , обладающие в узлах обвода вместе со своими производными до второй включительно, нулевыми значениями, за исключением одного, обеспечивающего выполнение заданного условия: ,

,                                                (2)

В качестве переходных функций можно использовать алгебраические полиномы, хотя не исключена возможность применения других функций.

Если рассматривать полиномы одинаковой степени, то  будут иметь вид

                                              (3)

При дифференцировании (1) по  имеем

                                (6)

                              (5)

Уравнения (1), (4) и (5) при  дают , , . При  имеем , , .

Уравнение (1) можно расписать по степеням

                                          (6)

                                   (7)

Переходные функции можно применить для конструирования дуги ІІ порядка гладкости І фиксации. В этом случае в уравнении (1) член  будет отсутствовать, а коэффициенты  можно принять иными

                                          (8)

                                        (9)

Значение  в первой точке обвода задается из дополнительных условий (например, выпуклости ввода), затем по уравнению второй производной дуги (8) определяется  и уравнение (8) применяется для следующей дуги.

Если расписать (8) по степеням , получим

(10)

Для обвода нулевой фиксации

,                                             (11)

                                               (12)

Значения  и  выбираются только в первой точке обвода, в остальных точках они последовательно вычисляются.

После преобразования (11) имеем

.                            (13)

Для обвода І порядка гладкости

                                      (14)

                               (15)

Или по степеням

             (16)

Дуга обвода I порядка гладкости нулевой фиксации описывается уравнением

,                                             (17)

где                                                                                (18)

 выбирается в первой точке, а в остальных рассчитываются по уравнению                       ,                                                        (19)

Приведем набор тригонометрических полиномов в качестве переходных функций для обвода II порядка гладкости и фиксации

         (20)

Аналогичный набор можно составить для обводов иной гладкости и фиксации, но с выполнением необходимых наперед заданных условий конструирования лопатки турбины.