опыт линеаризации кинетических процессов

в полидисперсных системах

Стрельцова А.А., Гарькина И.А., Гарькин И.Н.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Как правило, кинетические процессы формирования физико-механических характеристик композитов являются нелинейными. Приведение их к линейному виду существенно облегчает аналитические исследования. Для этого использовались замены переменных:

.

При выборе между степенными и показательными функциями пользовались простыми графическими правилами. По экспериментальным данным , , определялись точки , и наносились на график. Коэффициент приближенной прямой принимался за начальное приближение параметра показательной или степенной функции. В случае планируемых измерений выбирались две последовательности точек: (арифметическая прогрессия); (геометрическая прогрессия). Определялись соответствующие выходные величины: - в точке , - в точке , ; вычислялись отношения последовательных результатов , . При выбиралась показательная функция, и оценивался ее параметр: ; при выбиралась степенная функция, а ее показатель оценивался в виде .

Приведем основные замены переменных, использовавшихся при линеаризации:

– для показательной функции ,

– для показательной функции ,

– для дробно-линейной ,

– для дробно-линейной ,

– для гиперболической ,

– для логарифмической ,

– для логарифмической ,

– для степенной .

Степень аппроксимирующего полинома определялась с использованием разложения по ортогональным полиномам Чебышева . Исходили из справедливости гипотез: значения известны точно; значения содержат погрешности с приближенно гауссовским распределением и дисперсиями, равными . По данным последовательно строились, используя МНК, приближения полиномами со степенями :

, .

Максимальная степень полинома определялась, исходя из конкретной задачи (в большинстве случаев - ). Тогда для остаточных сумм квадратов оценки дисперсии равны (соответствуют различным степеням ). Степень полинома увеличивалась, пока оценки заметно убывали. Выбор степени полинома производился, исходя из точности (по значению , при котором оценка минимальна - или по значению , после которого оценка перестает заметно убывать - ). Если при всех степенях выбранное условие не достигалось, то принимали максимальную степень полинома .

Для выбора степени полинома использовались и методы перекрестного выбора. Все данные разбивались на группы. Одна из групп являлась проверочной, а по медианным точкам остальных групп строился полином . Согласие полинома с исходными данными оценивалось по его отклонению от медианы проверочной выборки: .

Описанная процедура многократно повторялась, принимая последовательно каждую из групп за проверочную. В итоге определялся суммарный показатель адекватности полинома исходным данным: .

В качестве искомой степени полинома принималось то значение , для которого показатель минимален.

Указанные способы использовались при идентификации процессов формирования отдельных свойств (частных критериев) композиционных материалов. В последующем результаты использовались при определении аналитического выражения обобщенной целевой функции по выбранному множеству частных критериев.

Литература

1.Гарькина И.А., Данилов А.М. Опыт разработки композиционных материалов: некоторые аспекты математического моделирования // Известия ВУЗов. Строительство. – 2013. – №8 (656). – С.28-33.