Гнатейко Н.В.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ВОПРОСЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ УПРУГОСТИ ПОДВЕСА ГИРОСКОПА

Анализ механизма прохождения волны аэродинамического шума звуковой частоты показывает, что наиболее опасными с точки зрения увеличения погрешности прибора являются упругие перемещения элементов поверхности в плоскости шпангоута. В направлении образующей цилиндра они существенно меньше как по величине, так и по степени влияния на динамику гироскопа. Поэтому достаточно ограничиться изучением двумерной задачи.

Дифференциальные уравнения упругой цилиндрической поверхности запишем в виде:

; (1)

,

где - коэффициент (, - толщина и радиус цилиндрической оболочки); и - соответственно тангенциальная и радиальная составляющие перемещения боковой поверхности (рис. 1); ; - центральный угол; - длина цилиндра.

Граничные условия зададим в виде:

;

; (2)

.

Пусть в начальный момент времени с упругой оболочкой начинает взаимодействовать волна давления –

, (3)

где - амплитуда плоской монохроматической волны; - координаты точки поверхности; ; ; - косинус угла между нормалью к фронту плоской волны и -нормалью к поверхности.

Рис. 1. Дифракция звука на упругой оболочке

Решение систем уравнений (1) и (2) будем искать в виде рядов Фурье функций и в прямоугольнике

(4)

В соответствии с принятыми граничными условиями, ряд Фурье по переменной строится в виде –

(5)

здесь – числа полуволн в плоскости шпангоута и продольной соответственно.

Вычислим коэффициенты Фурье функции в прямоугольнике (4):

, (6)

где

(7)

Полагая, что , получим –

(8)

Таким образом, выражение (6) можно преобразовать к виду –

, (9)

если .

В окончательном виде соотношение (3) представляется так –

(10)

Если подставить (5) и (10) в исходную систему дифференциальных уравнений (1), то получим:

(11)

где ; .

При эта система уравнений преобразуется:

(12)

Отсюда следует, что если

(13)

то . Если же, наоборот,

(7.14)

то может принимать произвольные значения.

Вследствие этого, в качестве исходного, зададим –

при сформированном выше ограничении .

Коэффициенты без особых затруднений найдутся из выражений (12) –

, (15)

причем выполнение условия (13) здесь не обязательно.

Вычислив определитель системы (11)

(16)

при условии, что он не равен нулю (), несложно найти и искомые неизвестные величины:

(17)

где ; .

Теперь, с учетом сказанного выше, можно установить значения тангенциальной и радиальной составляющих перемещений элементов поверхности цилиндрической части поплавка при воздействии на нее плоской монохроматической волны давления –

(18)

Полученные соотношения позволяют провести качественную и количественную оценку возникающих волновых процессов. Так, очевидно, что при некоторых условиях одновременно будут исчезать и тангенциальная, и радиальная составляющие перемещений. Этими условиями можно считать соотношения –

,

что соответствует присутствию форм .