Математика/1.Дифференциальные и интегральные уравнения
Гребенникова И.В., Кремлев А.Г.
Уральский государственный университет, Екатеринбург, Россия
К МИНИМАКСНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНО
ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
В данной работе рассматриваются динамические объекты,
математическими моделями которых являются сингулярно возмущенные системы (с
малым параметром m >0 при части
производных) с запаздыванием h>0 (по состоянию)
следующего вида:
(1)
где 
– матрицы
соответствующих размеров с непрерывными элементами. Начальное состояние системы
x(t)=y(t), t0-h£t<t0, y(t) – кусочно-непрерывная функция,
x(t0)=x0, y(t0)=y0
точно неизвестно и заданы лишь ограничения x0ÎX0,
y0ÎY0, где X0, Y0 – выпуклые
компакты в соответствующих пространствах, y(t)ÎY(t), t0-h£t<t0, Y(t) – заданное многозначное отображение со значениями в
виде выпуклых компактов (в Rn), непрерывное по t в
метрике Хаусдорфа, uÎRr – управление.
Реализации u(t), tÎT – измеримые по Лебегу функции,
удовлетворяющие условию 
, P={u(×)
| u(t)ÎP(t), tÎT}, где P(t) – заданное
непрерывное, ограниченное, выпуклое многозначное отображение. Как и в [1]
предполагается выполненным условие экспоненциальной устойчивости для подсистемы
быстрых переменных.
Рассмотрим вырожденную систему, полученную из (1) при μ=0:
(2)
где tÎT, 
.
Обозначим Z[t,t] и X[t,t] –
фундаментальные матрицы решений соответственно систем (1) и (2) (при uº0),
причем Z[t,t]=En+m, X[t,t]=En, X[t,t]=0
при t>t. En – единичная матрица n
n. Матрицу Z[t,t] представим в следующем блочном
виде
,
здесь Z11[t,t], Z12[t,t], Z21[t,t], Z22[t,t] – матрицы с размерами соответственно nn, nm, mn, mm.
Введем следующие
обозначения: 
t0£t£t1 – множество
(ансамбль) траекторий 
системы (1), исходящих из Z0 при
некотором y(×)ÎY(×) и фиксированном u(×)ÎP.
Определим функционал: 
где 
заданная выпуклая
функция (с конечными значениями).
Задача 1. Среди
управлений u(×)ÎP найти оптимальное u0=u0(×),
доставляющее минимум функционалу J на множестве P:
Решение задачи 1 описывается следующими соотношениями (используя [2]):
где 
– функция,
сопряженная к 
; 
– замыкание
выпуклой оболочки функции h(l); 
– опорная
функция множества X на элементе s.
Оптимальное управление удовлетворяет условию минимума:
для почти всех tÎT 
Полученные u0(×,
m),
l0, 
зависят от параметра m.
Однако эти величины при 
могут не сходиться [3]
к соответствующим решениям задачи 1 для вырожденной системы (2). Поэтому важным
представляется построение аппроксимации оптимального управления u0(×,
m),
доставляющей оптимальное значение 
с заданной точностью
(относительно m).
Справедлива [1] следующая лемма.
Лемма 1. При t0£t£t£t1 справедливы следующие рекуррентные формулы для вычисления Zij[t,t], i,j=1,2, определяющие асимптотику матрицы Z[t,t]:
k=0,1,2,…;
причем 
Y[t,t]
– фундаментальная матрица решений системы 
, Y[t,t]=Em.
Используя
последовательности 
i,j=1,2; k=0,1,2…,
можно аппроксимировать решение задачи 1 с любой заданной точностью (относительно
m,
0<m£m0).
Будем предполагать, что элементы матриц 
имеют на T ограниченные производные.
Построим управляющее
воздействие 
, доставляющее оптимальное значение с точностью 
k=0,1,2,…
Теорема 1. При 0<m£m0, m0 достаточно мало, справедливо
где 
при ; причем функции 
, i=1,2,
определяются следующим образом: при t0£t£t£t1-ak(m)
при 0£s<ak(m)/m 
Рассмотрим управляющее
воздействие 
, 
определяются условиями:
при почти всех 
Теорема 2. Пусть 0<m£m0,
m0
достаточно мало. Тогда справедливо равенство
Литература:
1. Кремлёв А.Г.,
Гребенникова И.В. // Новости научной мысли. 2006. Т.4. С. 65-69
2. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.
3. Кремлёв А.Г. // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30. № 11. С. 1892-1904.