ФИЗИКА

Теоретическая физика

Юхименко С.А.

(г.Днепропетровск, Украина)

ОБ ОСОБЕНОСТЯХ СКОРОСТЕЙ ГИРАЦИИ (ЧИСТОГО ВРАЩЕНИЯ) И ПРЕЦЕССИИ

В идейном плане  информация (I), освещаемая  в настоящей работе (N), развивает ту I, что представлена в юсовой физико-теоретической статье [3]; “Юс: научный псевдоним автора N”[3], - см. также [5]с.67. В части физического языка (как и теоретических положений) рассматриваемая N, базируясь на [3], заимствует некоторые элементы также из [2,4,,6], - публикации [2, 5] должны рассматриваться в комплексе с [3, 6] соответственно; ” двойная запятая (,,) {читается: дик} заменяет тире (-) в обозначении интервала ”[5]с.68.

Отмеченные в заглавии N скорости прецессии и гирации (“гирация: чистое вращение ” [2]с.9) входят в блок (триаду) главных ЭКУ; главные: “самые важные, основные <..> ” [1]с.128;  “математический символ <..> (читается: цибип) обозначает пропуск в цитате, который допущен (введен) цитирующим” [5]с.67; ЭКУ: эйлеровы кинематические уравнения или, иначе, кинематические уравнения Эйлера. Там, где это возможно без потери ясности, вместо ЭКУ может применяться сокращенное обозначение КУ, - кинематические уравнения.

В соответствии с [3] главными ЭКУ являются следующие {не указанные(!) в “Справочнике по физике” [7]} зависимости:

= ωх cos- ωуsin,               =(ωхsin+ωуcos)csc,                          =ωz-(ωхsin+ ωуcos)ctg;                 (1)

csc: косеканс; , , : углы Эйлера (: угол нутации; : угол прецессии; : угол гирации); , , : скорости нутации, прецессии, гирации, - производные  по времени t от углов , ,  соответственно; ωх, ωу, ωz – проекции вектора   на сотонные оси х, у, z;  : общая скорость вращения, - скорость исследуемого “абсолютно твердого тела” ([7]с.23), с которым жестко связан сотон  oxyz; “сотон: система отсчета координат” (см. [2]с.9 и [5]с.63); - в N это сотон Декарта.

Представленные в (1) дифференциальные уравнения , ,  - это: кинематические уравнения нутации, прецессии и гирации соответственно. Триада (1) относится к классу “КУВ: кинематические уравнения вращения” [5]с.63.

Но не только КУВ определяют облик кинематической теории вращения (КТВ), -  в последнюю входит, например, еще и КТС, - так что ΄΄΄КТВ={КУВ,КТС,..}; <..>; КТС: кинематическая теория сингулярности,  - сокращенно ТС (теория сингулярности); сингулярность: особенность (характерное, отличительное свойство), имеющая отдельные (одиночные, - не массовые) проявления, - такова, например, особенность вида бесконечность (∞) некоторых функций, которые становятся бесконечными в отдельных (“особых”) точках по шкале своих аргументов, - подобные явления случаются и в КУВ΄΄΄ [5]с.63,64; в записях типа ТВ={УВ,ТС,..} горизонтальное двоеточие (..) [читается: бип] заменяет известное многоточие и, также как последнее, символизирует другие (скрытые) компоненты.

“Компоненты КТС приводятся в условной записи: КТС=={УКС,МПС,..}; УКС: условия кинематической сингулярности, - те условия, при которых (здесь в рамках КУВ <..>) возникает кинематическая сингулярность (КС) вида ±∞; МПС: метод преодоления (прохождения) сингулярности: способ преодоления барьера сингулярности, - указывает, как сингулированная (имеющая сингулярность) функция проходит особую точку по шкале своего аргумента” [5] с.64.

В N конкретно [применительно к КУВ (1)] определяются только УКС, - освещение МПС выходит за рамки N. Одних УКС достаточно, чтобы понять: проблема КТС существует и ее решение должно освещаться в печати.

Начинать освещение надо именно с вопроса УКС, что и делается далее, - в N. Определить УКС применительно к КУВ (1) значит: получить ключевую I об особенностях скоростей прецессии и гирации, т.е. ,  соответственно, - из области главных ЭКУ (1). А во второстепенных ЭКУ (см. [3]) аналогичная сингулярность (в формулах проекций ωх, ωу, ωz ) отсутствует, - это очевидная I, да и в другом источнике (см. [5] с.65) отмечено, что всегда │ωх, ωу, ωz│‌ ≠ ∞; прямые скобки указывают на модули соответствующих величин. Так что по вопросу УКС надо обращаться не ко второстепенным, а к главным ЭКУ, т.е. к (1).

Поставленная (выше) задача определения УКС отражается в условной записи:

УКС = ?                                  (2)

В рамках N полагается, что УКС – это “те условия, при которых (<..>) возникает кинематическая сингулярность (КС) вида ±∞ ” ([5] с.64) скоростей  ,  (1), - такая КС у  (1) не возникает (см. далее, - в N). Именно при УКС происходит сингулярное вращение, - вращательное движение с отмеченной выше особенностью (сингулярностью).

Т.к. всегда  “│ωх, ωу, ωz│ ≠ ∞ ” (см. [5]с.65) и  ‌│sin, cos│‌ ≤ 1 , то для первого уравнения системы (1) можно записать:

‌││  ≠ ∞                                (3)

I (3) означает: всегда (при любых условиях) дифференциальное уравнение   (1) конечно (не бесконечно) и, следовательно, может численно интегрироваться без каких-либо ограничений. Однако такой (тотальной) свободы численного интегрирования не имеют другие (второе и третье) уравнения системы (1), потому что их модули при определенных условиях могут быть бесконечными [последнее утверждение доказывается далее, - результатом (8)]. Эти условия обозначаются УКС [см. (2)], - их конкретное значение [применительно к  ,  (1) ] определяется далее (в N).

Чтобы легче определить рассматриваемые УКС, “вводится упрощающее обозначение” (см. [5] с.65 применительно к N):

Ω  = ωxsin+ωуcos;                                 (4)

Ω: омежная скорость (условное название); всегда  ‌│Ω│≠∞. В физико-теоретических рассуждениях на тему УКС (2) применительно к  ,  (1) конкретное содержание величины  Ω [см. правую часть равенства (4)] “не имеет значения, а вот пользоваться простым (однобуквенным) символом Ω легко, наглядно, удобно” [5]с.65.

I (4) сжимает громоздкую I (1) [в части , ] к виду:

 = Ω csc,     = ωz - Ωctg.                                      (5)

Подозрение (на КС вида ±∞) уравнений  (5) вызывается тем фактом, что у тригонометрических функций, входящих в эти уравнения, есть своя (“тригонометрическая”) сингулярность:

‌  │csc, ctg │= ∞      su       = p;                                      (6)

p = kπ;   k = 0,1,2,3,..;                                                  (7)

в математических записях типа (6) условный обобщенный символ  su ( ← “с условием”) обозначает “подходящее по смыслу слово или словосочетание из набора квазисинонимов: в, в варианте, в рамках, в ситуации, в случае, в условиях, где, для, если, здесь, как только, когда, лишь только, при, применительно к, при условии, с, с условием, только, .. {конкретное значение символа su указывает автор соответствующей записи” [5] с.65, - для su (6) подходит, например, значение: при};  p: полярный угол нутации, - то значение величины  , при котором возникает тригонометрическая сингулярность [последняя есть  ∞ для модулей функций (6)];  k: кратность полярных поворотов, - с периодом  π (с нулевой позиции k = 0) для функций (6).

Из (6, 7) следует, что csc, ctg сингулярны в двух полюсах, -  в ВП и НП, где ВП: верхний полюс; НП: нижний полюс; ВП при   = 0; НП при   = π. Так что 0, π являются полюсами [особыми направлениями (“точками”)] для функций csc, ctg.

Уместно заметить, что именно при   = p  происходит полярное (в момент прохождения полюсов) обращение “второстепенных ЭКУ” [3], т.е. их преобразование в главные ЭКУ (1), - а если   ≠ p , то обращение является внеполярным. А при   = p  и другом условии [см. (9)] происходит (в рамках полярного обращения) особое (сингулярное) обращение, - с явлением сингулярности (особенности) вида  ∞  модулей функций  , , - см. далее. По сути своей (по результату преобразования) сингулярное обращение является таким же, как и любое другое полярное обращение, а также внеполярное, - везде результат один и тот же: уравнения (1) или, иначе (для  , ) равенства (5).

Из (5, 6) следует:

‌ │,  │=  ∞        su   { = p,   Ω  ≠  0}.                             (8)

Безупречный результат (8) является следствием (после замены символа С на  ‌│Ω│) тривиального равенства С∞  =  ∞ , где С: конечная положительная величина. Оценка (8) объективна.

В ситуации (8) [когда  ∞ ] дифференциальные уравнения   ,   (1,5) не могут численно интегрироваться. Это справедливый запрет, - таковы законы истинной математики.

Равенство (8) отражает исследуемую КС. Оно выполняется при совместном (одновременном) выполнении двух условий: позиционного   = p и скоростного  Ω  ≠  0 (они из кинематики). Эти условия (в комплексе) представляют искомые УКС (2), - для скоростей   ,   (5). Так что:

УКС = {  = p , Ω  ≠  0 }.                                  (9)

I (9) есть решение задачи (2), - оно вполне обосновано. Это главный результат исследований по теме N.

Из (8, 9) следует: сингулярность вида  ±∞  (она неустранима) скоростей   ,   (5) возникает в полюсах, но только в том случае, когда еще и  Ω является ненулевой. А если при   = p  величина  Ω равна нулю, то такими (нулевыми) становятся и  , - ωz (ненулевые  Ω  неисчислимы, а нулевая – одна), - об этом вне рамок N. Для последней важно только то, что существует явление (8), которое [с учетом (9)] позволяет записать:

‌ │, │=  ∞        su   УКС.                                (10)

По сути, I (10) есть не результат исследований, а математическая запись приведенного выше словесного определения УКС, - применительно к формулам скоростей   ,   (5). Базисным результатом исследований в N является комплекс (10, 9) или, кратко: (8). А та частная конкретная задача (2), что ставилась по теме N применительно к (5) [или, изначально, к (1)], решена в форме (9).

Представленные в N исследования {об особенностях кинематических уравнений (1, 5)} более информативны, чем подобные исследования в юсовой работе “Об особенностях кинематических уравнений Эйлера” [4].

Условная научная дискуссия “Юс - Эйлер” публикациями [2,,4], N не исчерпывается, - продолжение следует.

Литература:

1. Ожегов С.И. Словарь русского языка. – М.; Сов. Энциклопедия. 1964.

2. Юхименко С.А. Вывод формул скоростей нутации, прецессии и чистого вращения из кинематических уравнений Эйлера //Матеріали IV Міжнародної науково-прктичної конференції “Динаміка наукових досліджень’2005”. Том 54: “Фізика”. – Дніпропетровськ; Наука і освіта. 2005.

3. Юхименко С.А. Главные и второстепенные кинематические уравнения Эйлера //В печати.

4. Юхименко С.А. Об особенностях кинематических уравнений Эйлера //Збірник наукових праць: “Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики”. Том 2: “Теорія та методика навчання фізики”. – Кривий Ріг; НацМетАУ. 2002.

5. Юхименко С.А. О кинематике вращения летательного аппарата //Materials of international scientifical – practical conference “The Science: theory and practice”. Volume 28: “Physics”. - Praque (Czechia); Publiching House “Education and Science”. Dnepropetrovsk (Ukraine); Nauka i osvita. Belgorod (Russian); Rusnauchkniga. 2005.

6. Юхименко С.А. Тандемное обращение кинематических уравнений Крылова //В печати.

7. Яворский  Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – М.; Наука. 1977.