Секция  19-ТН/2. «Механика»

 

Антонов Б. И. 

 

Одесский национальный морской университет

 

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ  БРУСА ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

 

При исследовании различных конструкций широко применяются расчетные схемы в виде изолированных брусьев или систем взаимодействующих в узловых точках брусьев. В некоторых расчетных схемах конструктивные элементы имеют переменное по длине сечение. Исследование свободных колебаний таких систем представляет сложную математическую проблему, анализ которой в большинстве случаев возможно выполнить только численными методами.

Целесообразно для решения указанной задачи применить метод конечных элементов.  Для этого необходимо располагать матрицами жесткости и масс конечного элемента (КЭ) бруса переменного сечения. Процедура получения элементов указанных матриц жесткости и масс описана  в работе [1]. Рассмотрен КЭ бруса, в каждом естественном узле которого предусмотрено по две степени свободы: нормальное перемещение   и угол поворота сечения   (рис. 1).  В этом случае вектор-столбец узловых перемещений КЭ имеет структуру    

                    ,          (1)

 

где   - время.

Принятая структура вектора-столбца (1) позволяет представить функцию   нормального  перемещения   точек оси КЭ  в виде

                                         ,                                           (2)

 

где     -  матрица-строка  координатных функций;  

         - квадратная матрица преобразования.

                       

                     Рис. 1.  Конечный элемент бруса переменного сечения                             

 

 

Изменение площади  и центрального момента инерции  поперечного сечения бруса  принято в виде:

 

  Клиновидная форма (рис. 2,а)                    Коническая форма (рис. 2,б)

                    

  ;              ,

 

где  - длина КЭ;  - площадь и центральный момент инерции левого торцевого сечения КЭ ;  ;   (рис.2).

Предполагается, что брус связан с упругим основанием. Рассмотрена модель упругого основания Фусса-Винклера. Помимо поперечной нагрузки брус может быть нагружен постоянными осевыми силами .

На основании зависимости (2) и перечисленных допущений получены выражения   для  вычисления  элементов  матрицы  жесткости  и  матрицы масс  

конечного элемента бруса переменного сечения.

                 Рис. 2. Типы конечных элементов бруса переменного сечения

 

Уравнение движения упругой системы без сопротивления имеет вид [1]

                                ,                                      (3)

где   - матрица жесткости и   - матрица масс бруса (ансамбля КЭ) в общей системе координат;  - вектор узловых перемещений бруса в общей системе координат;   - вектор узловых ускорений;   - вектор действующих на брус внешних узловых сил в общей системе координат.

Из уравнения движения (3) нетрудно получить, приняв , матричное уравнение для исследования свободных колебаний упругой системы без сопротивления

                                                      ,                                                    (4)                                         

 

где     - вектор  амплитуд  узловых  перемещений  в общей системе координат;   -  собственные  частоты упругой системы.

Решение уравнения (4) может быть выполнено с использованием алгоритма,  рассмотренного в работе [2].

Для иллюстрации применения рассмотренного КЭ бруса переменного сечения решена задача: определена наименьшая собственная частота  поперечных колебаний бруса прямоугольного сечения единичной ширины, имеющего форму клина (рис. 3), которую можно вычислить по формуле

                                       .  

В расчете использованы следующие данные: длина   бруса     = 2,4 м,    высота     левого торцевого сечения     = 0,2 м,     модуль упругости материала бруса =210 ГПа,   плотность материала   = 7,85 .      

В табл. 1 приведены значения множителя .

                                 Таблица 1                                                     Таблица 2

           Число КЭ                                                      Число КЭ               

                   2                  5,312                                          2                   4,370

            4                  5,313                                          4                   4,360

                   8                  5,318                                          8                   4,360

 

Для рассматриваемого бруса имеется точное решение  Кирхгофа (приведено в работе [3]):    .

 Расхождение сравниваемых результатов не превышает 0,056%.

Для бруса конической формы (рис. 3:),   длина которого  = 2,4 м,    радиус   левого торцевого сечения   = 0,1 м, модуль упругости  =210 ГПа  и плотность материала   = 7,85 ,   получена величина первой  собственной   частоты    поперечных   колебаний,   которую   можно  вычислить

по формуле

                                                       .

В табл. 2 приведены  значения множителя .

Для рассматриваемого бруса имеется точное решение  Кирхгофа (приведено в работе [3]):    

Расхождение сравниваемых результатов не превышает 0,023%.

 

     

             Рис. 3. Расчетная схема бруса переменного сечения

 

 

Литература:

1. Антонов Б. И. Решение статических и динамических задач для бруса переменного сечения методом конечных элементов // Вісник Одеського національного морського університету. Вип. 17. - Одеса.:  Вид-во ОНМУ. - 2005 . - С. 271 - 281.

2. Антонов Б.И. Об одном алгоритме решения обобщенной проблемы собственных значений // Современные проблемы судостроения и судоремонта [ОИИМФ].– М.:  В / О «Мортехинформреклама», 1991. С. 78 – 81.

 3. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. – М.: Машиностроение, 1985. – 472 с.