М.П.Ленюк, І.М.Нагорняк

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Адсорбційний масоперенос в двоскладовому необмеженому циліндрично-еліптичному просторі

 

Розвиток сучасних технологій та створення новітних матеріалів ставить нові завдання до дослідження механізму кінетики та інтенсифікації дифузійно-адсорбційного масопереносу в каналах різної конструкції. Дослідження механізму процесу дифузійно-адсорбційного масопереносу в прямолінійних та циліндрично-кругових каналах висвітлено в математичній літературі [1]. В реальних ситуаціях ми, як правило, маємо справу з циліндрично-еліптичними (ц.-ел.) каналами. Дана робота присвячена вивченню процесу адсорбційного масопереносу в двоскладовму необмеженому ц.-ел. просторі

П1 = {(x; h, z):  x Î (0, x­1)  (x1, ¥), h Î [0, 2p]; z Î (–¥, +¥)}.

         В першому наближенні математично опис такого процесу приводить до побудови обмеженого в області D1 = {(t, x, h, z): t Î (0, ¥); (x, h, z) Î П1} розв’язку сепаратної системи рівнянь

                      , j = 1, 2                (1)

за відповідними початковими умовами

                  C1|t = 0 = g1(x, h, z), x Î(0,x1); C2|t = 0 = g2(x, h, z), x Î (x1, ¥)           (2)

та умовами спряження

                      , j = 1, 2.               (3)

         У рівностях (1) – (3)  ³ 0,  ³ 0, c11c21 > 0, cj1 = , L = ,  = (ch2x – cos2h) º r(x, h),  = 2–1a0e, a0 – велика піввісь еліпса, e – ексцентриситет еліпса.

         При цьому функції aj та Cj зв’язані співвідношенням

                    , bj ³ 0, gj > 0.                       (4)

          Звідси одержуємо функції

                   aj = .                      (5)

          Отже, достатньо знайти функцію C(t, x, h, z) = {C1(t, x, h, z), C2(t, x, h, z)}.

          Якщо bj = 0, то aj = aj(0, x, h, z). В цьому випадку  = 0 і задача (1) – (3) для функції Сj стає чисто дифузійною й добре вивчена в математичній літературі [3].

          Якщо bj ¹ 0, то із рівності (4) знаходимо, що функція

                              Сj = , j  = 1, 2.                                 (6)

          Підстановка функцій Cj в рівняння (1) дає диференціальне рівняння стосовно функцій aj:

    . (7)

          При цьому вважаємо відомими початкові умови

          aj(t, x, h, z)|t = 0 = aj(0, x, h, z),  = bj[gj(x, h, z) – gjaj(0, x, h, z)].     (8)

          Якщо із рівняння (1) виключити функції aj(t, x, h, z), то для Cj матимемо диференціальне рівняння

           =

                                               = .                                                  (9)

При цьому повинні виконуватися початкові умови:                                                 Cj|t = 0 = gj(x, h, z),  = fj(0, x, h, z) + gj(x, h, z) –

                          – (bj + )gj + bjgjaj(0, x, h, z) º jj(x, h, z).                            (10)

          При  та  задача полягає в побудові функції uj(t, x, h, z) як розв’язок диференціального рівняння

           = Fj(t, x, h, z), j = 1, 2, (11)

обмеженого в області D1 за початковими умовами

                                   uj|t = 0 = Yj1(x, h, z),  = Yj2                                    (12)

та умовами спряження стандартного вигляду.

          Для побудови точного аналітичного розв’язку задачі (11), (12) залучимо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій вісі щодо геометричної змінної z та інтегральне перетворення Лапласа стосовно часової змінної t [4], в припущенні, що задані та шукані функції задовольняють умови застосовності цих інтегральних перетворень.

          Задачі (11), (12) в зображенні за Фур’є та Лапласом відповідає крайова задача: побудувати в області Q1 = {(x, h): x Î (0, x1)  (x1, ¥), h Î [0, 2p)} обмежений розв’язок сепаратної системи

                (13)

за умовами спряження

          .       (14)

                         У рівностях (13), (14) прийняті позначення:

                      qj(p, b 2) = [p +  + b 2 + bjgj], j = 1, 2,

          ´

                                                     ´r(x, h).

          Застосувавши до задачі (13), (14) скінченне інтегральне перетворення стосовно h [5], одержимо задачу побудови обмеженого на множині  = {x: x Î (0, x1)  (x1, ¥)} розв’язку сепаратної системи неоднорідних диференціальних рівнянь Матье для модифікованих функцій [6]

                        , x Î (0, x1),

                       , x Î (x1, ¥)                        (15)

 

за умовами спряження

, j = 1,2. (16)

          У рівностях (15), (16) беруть участь функції

           +

            +  º .             (17)

          Внаслідок рівності (17) рівняння (15) дають систему з двох рівнянь

                     , j = 1, 2,                      (18)

                     , j = 1, 2.                      (19)

У рівнянні (18) km = k2n та km = k2n + 1; у рівнянні (19) km = k2n + 1 та km = k2n + 2 [6].

          Визначимо функції

          ,

          ,

          ,

         

          .

          Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної задачі: для p = s + it  з Rep = s > s0, де s0 – абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та Imp = t Î (–¥, ¥) величина

 ¹ 0.    (20)

          Побудований методом функцій Коші, розв’язок крайової задачі (14), (18) має структуру:

           +                                              + , j = 1, 2.                                                         (21)

          У рівностях (21) беруть участь породжені неоднорідністю рівняння (18) функції впливу:

         

                                                         (22)

          ,

          ,

                                                   (22)

          Фундаментальну систему розв’язків для відповідного (19) однорідного рівняння Матьє утворюють модифіковані функції Матьє Sem(x, ) та
Gekm(x, ) [6].

          Визначимо функції:

          , j, k = 1, 2

          , i = 1, 2,

          ,

          ,

          ,  ¹ 0.  

          Побудований методом функцій Коші, розв’язок крайової задачі (14), (19) має структуру:

           +

                + , j = 1, 2.                 (23)

          У рівностях (23) беруть участь породжені неоднорідністю рівняння (19) функції впливу:

         

                                                         (22)

          ,

          ,                            (24)

                               

          Розв’язком задачі (15), (16) є функція

           =

          +  +  +  (25)

+ , j = 1, 2.

          Визначимо функції:

         

          + , j, k = 1, 2;                                (26)

          ,

          , j, k = 1, 2.

          Повертаючись в рівностях (25) до оригіналу, маємо інтегральне зображення розв’язку задачі (11), (12), (14) адсорбційного процесу масопереносу:

uj(t, x, h, z) =  ´

´ r(x, j) dxdjdzdt +          (27)

+ r(x, j) dxdjdzdt +  ´

´ r(x, j) dxdjdz + r(x, j) dxdjdz, j = 1, 2.

          Тут беруть участь функції

, j, k = 1, 2,

та зосереджена в точці t = 0+ дельта-функція d+(t).

          Особливими точками функцій  в p-комплексній площині є точки галуження

         

й точка p = ¥.

          Оскільки <0 при будь-якому b 2 Î (0, ¥), то в інтегралах по контуру Бромвіча стосовно p можна ‘’сісти`` на уявну вісь й одержати розрахункові формули типу

          ,

          , j, k = 1, 2,       (28)

для функцій джерела.

          Зауважимо, що без залучення нових ідей можна одержати розв’язок задачі у випадку, коли умови спряження неоднорідні.

          Функції aj(t, x, h, z) та Cj(t, x, h, z) обчислюються за відомими формулами.

 

1.     Ленюк М.П., Петрик М.Р. Інтегральні перетворення Фур’є, Бесселя із спектральним параметром в задачах математичного моделювання масопереносу в неоднорідних середовищах. – Київ: Наук. думка, 2000. – 371с.

2.     Ленюк М.П., Петрик М.Р. Математичне моделювання адсорбційного масопереносу зі спектральним параметром для неоднорідних n-інтерфейсних циліндричних обмежених мікропористих середовищ з порожниною // Вісник Тернопільського державного технічного університету, 2004. – Том 9, № 4. – С. 147-158.

3.     Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с.

4.     Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1965. – 715 с.

5.     Ленюк М.П., Подильчук Н.Б. Интегральные преобразования в цилиндрически-эллиптической системе координат и температурные поля в эллиптических областях. – Киев, 1992. – 60 с. – (Препринт / АН Украины. Ин-т математики; 92.13).

6.     Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. – М.: Изд-во иностр. лит., 1963. – 475 с.