О.М.Нікітіна

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера–Фур’є на полярній вісі r ³ R₀ > 0

Запровадимо методом дельта-подібної послідовності гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині = {r: r Î (R₀, R₁) (R₁, ¥); R₀ > 0} гібридним диференціальним оператором (ГДО) , a_j > 0, j = 1, 2, (1)

q(x) – одинична функція Гевісайда, B_a – диференціальний оператор Ейлера: , 2a + 1 > 0 [1].

Означення. Областю визначення ГДО M_a назвемо множину G вектор-функцій g(r) = {g₁(r); g₂(r)} з такими властивостями:

1) вектор-функція f(r) = {B_a[g₁(r)]; (r)} неперервна на множині ;

2) функції g_j(r) задовольняють умови спряження

, j = 1, 2, (2)

3) справджуються крайові умови

, . (3)

Вважаємо, що виконані крайові умови на коефіцієнти: , , || + ¹ 0, ³ 0, ³ 0, с₂₁ × c₁₁ > 0, c_j1 = .

Розглянемо спектральну задачу на власні елементи ГДО M_a. Зауважимо, що оператор M_a самоспряжений з ваговою функцією

s(r) = s₁r^{2a – 1}q(r – R₀)q(R₁ – r) + s₂q(r – R₁), ,

і має на множині особливу точку r = ¥. Отже, його спектр дійсний та неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр b Î (0, ¥). Власному елементу b відповідає власна (спектральна) вектор-функція

V_a(r, b) = q(r – R₀)q(R₁ – r)V_{a, 1}(r, b) + q(r – R₁) V_{a, 2}(r, b).

При цьому функції V_{a, j}(r, b) повинні задовольняти диференціальні рівняння

, , b_j = , (4)

умови спряження (2) та крайові умови (3).

Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Ейлера (B_a + )v = 0 утворюють функції v₁ = r^–acos(b₁ lnr) та v₂ = r^–asin(b₁ lnr) [1] Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d²/dr² + )v = 0 утворюють функції v₁ = cos (b₂r) та v₂ = sin (b₂r). [1].

Покладемо

V_{a, 1}(r, b) = A₁r^–acos(b₁ lnr) + B₁r^–asin(b₁ lnr),

V_{a, 2}(r, b) = A₂cos(b₂ r) + B₂sin(b₂ r). (5)

Крайова умова в точці r = R₀ та умови спряження (2) для визначення чотирьох величин A_j, B_j (j = 1, 2) дають алгебраїчну систему з трьох рівнянь:

,

, j = 1, 2. (6)

У системі (6) беруть участь функції

, m = 0, 1;

,

,

.

Припустимо, що A₁ = A₀, B₁ = –A₀, де A₀ підлягає визначенню. Тоді алгебраїчна система (6) набуває вигляду:

= – A₀d_{a, j1}(b) º

º –A₀(), (7)

Визначник алгебраїчної системи (7)

q₁(b) º = c₂₁b₂(b) ¹ 0.

Однозначний розв’язок системи (7) при A₀ = c₂₁b₂(b) дає:

A₂ = –w_{a, 2}(b), B₂ = w_{a, 1}(b); w_{a, j}(b) = – .

Наявність спектральної вектор-функції V_a(r,b), вагової функції s(r) та спектральної густини

W_a(b) = b[b₂(b)]^–1([w_{a, 1}(b)]² + [w_{a, 2}(b)]²)^–1

дозволяє визначити пряме H_{a, 1} та обернене гібридне інтегральне перетворення Ейлера-Фур’є, породжене на множині ГДО M_a:

, (8)

. (9)

Математичним обгрунтуванням правил (8) та (9) служить твердження про інтегральне зображення.

Теорема 1. Якщо вектор-функція

f(r) = [q(r – R₀)q(R₁ – r)r^{a – 1/2} + q(r – R₁)]g(r)

неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на множині (R₀, ¥). то для будь-якого r Î справджується інтегральне зображення:

g(r) = . (15)

Доведення теореми проводиться методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші або ядро Діріхле) [2].

В основі застосувань запровадженого формулами (8), (9) гібридного інтегрального перетворення типу Ейлера-Фур’є на полярній вісі r ³ R₀ > 0 знаходиться основна тотожність інтегрального перетворення ГДО M_a.

Теорема 2. Якщо вектор-функція g(r) Î G, а функції g_j(r) задовольняють неоднорідні умови спряження

, j = 1, 2, (11)

та неоднорідні крайові умови

, , k = 0, 1, (12)

то справджується основна тотожність інтегрального перетворення ГДО M_a:

–

– – +

+ , (13)

, i = 1, 2.

Наявність основної тотожності (13) дає можливість одержати за відомою логічною схемою інтегральне зображення точного розв’язку відповідних задач статики, квазістатики та динаміки.

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004. – 368 с.