Бобовський Роман
Секція «Педагогіка»
Студент групи МІ-5 педагогічно-індустріального
факультету
ДВНЗ «Переяслав-Хмельницький
державний педагогічний університет імені Григорія Сковороди»
Комбінаторика – розділ
математики, присвячений розв’язанню задач вибору і розміщення елементів деякої,
зазвичай скінченної множини у відповідності з деякими правилами. Кожне таке
правило визначає спосіб побудови деякої конструкції з елементів вихідної
множини, яка називається комбінаторною конфігурацією. Тому можна сказати, що
основними задачами комбінаторики є вивчення комбінаторних конфігурацій, питання
про їх існування, алгоритми побудови, розв’язання задач на перелік. Прикладами
комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення та комбінації; блок-схеми
та латинські квадрати.
Комбінаторика - один із традиційних розділів дискретної
математики. Як розділ математики комбінаторика вивчає питання про те, скільки
сполук, пов’язаних з тими або іншими умовами, можна утворити з даних об’єктів.
Історія розвитку комбінаторики
свідчить про її постійно зростаюче наукове та практичне значення в житті
людства. Із задачами, що отримали потім назву
комбінаторні, люди були знайомі вже декілька тисячоліть тому. У стародавньому
Китаї захоплювались складанням магічних квадратів, у яких задані числа
розміщувалися так, що їх сума по всіх горизонталях, вертикалях та головних
діагоналях була однаковою; у стародавній Греції підраховували число різних
комбінацій довгих та коротких складів у віршованих розмірах, вивчали фігури,
які можна скласти з частин особливим чином розрізаного квадрату тощо.
У XVI столітті в
житті привілейованих людей тодішнього суспільства велике місце посідали азартні
ігри. У карти й кості вигравалося і програвалося золото і діаманти, палаци й
маєтки, породисті коні і дорогі прикраси. Були поширені всілякі лотереї.
Спочатку комбінаторні задачі стосувалися, в основному, азартних ігор,
наприклад, питань, скількома способами можна викинути дане число очок, кидаючи
дві чи три кості, скількома способами можна одержати двох королів у картковій
грі. Ці та інші проблеми азартних ігор були рушійною силою в розвитку
комбінаторики і теорії ймовірностей.
Теоретичні дослідження з
питань комбінаторики почали в XVII столітті французькі вчені Б. Паскаль
(1623-1662) і П. Ферма (1601-1665). Вихідним пунктом їхніх досліджень
також були проблеми азартних ігор.
Термін
"комбінаторика" був уведений у математику німецьким вченим
Г. Лейбніцем. У 1666 році Лейбніц опублікував роботу "Міркування про комбінаторне
мистецтво". Комбінаторику він розумів дуже широко, як складову будь-якого
дослідження, будь-якого творчого акту, що припускає спочатку аналіз
(розчленовування цілого на частини), а потім синтез (з’єднання частин у ціле).
У 1713 році опубліковано
роботу Я. Бернуллі (1654-1720) "Мистецтво припущень", у якій
досить повно були викладені відомі на той час комбінаторні факти. Робота
складалася із 4-х частин; комбінаториці була присвячена друга частина, у якій
містяться формули: для числа перестановок з n
елементів, для числа сполучень (названого Я. Бернуллі класовим числом),
без повторень і з повторенням, для числа розміщень з повтореннями і без
повторень.
У XX столітті завдяки роботам Дж.К. Рота (1964), а потім Р. Стенлі відбувається стрімкий процес алгебраїзації комбінаторики. Вивчення ними частково упорядкованих множин, властивостей функції Мебіуса, абстрактних властивостей лінійної залежності, виявлення їхньої ролі під час розв’язування комбінаторних задач сприяли збагаченню комбінаторних методів дослідження і подальшої інтеграції комбінаторики в сучасну математику.
Проблема вивчення
комбінаторики в школі активно досліджувалась в період 1970-1980 рр.
Розглядалися різні методичні моделі, але напрямок більшості досліджень
характеризується тим, що комбінаториці в них відводиться допоміжна роль:
вивчення її підпорядковано меті вивчення початків теорії ймовірностей. Однак,
оскільки сьогодні комбінаторика має дуже широку сферу застосувань, то цей
розділ сучасної математики набуває самостійного значення. Отже, існує потреба в
дослідженнях та пошуках більш досконалих підходів до вивчення комбінаторики з
урахуванням досвіду, зокрема й досвіду вивчення комбінаторики у вищій школі.
На жаль, у 80-90
роки комбінаторика до програми основного курсу математики не ввійшла і була
винесена на факультативні заняття. Але розвиток дискретної математики, її
багатогранні зв’язки з іншими галузями науки і безпосередньо з виробництвом
вплинули і на нові підходи до відбору змісту шкільної математичної освіти. Цій
проблемі велику увагу приділяють провідні математики та методисти:
А. Блох, Н. Віленкін, Б. Гнєденко, О. Дубинчук,
А. Колмогоров, А. Маркушевич, З. Слєпкань, О.Хінчін,
М. Ядренко та інші. Більш того, як зазначав І.Яглом, “...нова математика,
в силу свого скінченого характеру, значно доступніша для початківців, ніж
класичний математичний аналіз; вона скоріше може зацікавити тих, хто
навчається, викличе менше труднощів і тому більше підходить для викладання
навіть на ранніх стадіях навчання”.
Отже, сьогодні розділи математики, в яких не використовуються уявлення про нескінченні множини, границі й неперервність, стали тепер більш змістовними і важливими, ніж це думали математики ХІХ століття або першої половини ХХ століття. Якщо, починаючи з ХVІІ століття, панівне положення у математиці займало вивчення неперервних функцій, що було основою всіх застосувань математики у фізиці і техніці, то з середини ХХ століття почалося відродження інтересу до так званої “до-ньютонівської” або скінченної математики, яка оперує лише скінченними множинами і функціями, які визначені на таких множинах.