Докторант. БЕКАЕВ А.Е.

Международный Казахско-Туреций университет им. А.Ясави, Казахстан.

ОБ ИЗУЧЕНИИ НАПРЯЖЕННОСТИ СЛОИСТОГО ЦИЛИНДРА

 

Конструкции из композиционных материалов открывает важный резерв прочности и оптимизации [1-3]. При этом возникают новые задачи, которые следуют использовать соотношений пространственой теории упругости. Следовательно, в данной работе напряженно-деформированного состояния цилиндра на основе пространственного подхода. При этом цилиндр рассматривается как один из слоев конструкции из композиционного материала.

Рассматривается полый цилиндр конечной  длины    с внутренним r = a,  внешним r = в радиусами. Материал цилиндра изотропный и упругий.

На внутренней и внешней поверхностях  заданы:

                                                    при r = a,                                     (1)

                                                       при r = в.

На торцах цилиндра рассматриваются следующие граничные условия

        при  z=0,                                                                                  (2)

     Уравнения равновесия [4] сводится к уравнению относительно u1

                                                                    (3)

где         

                                              (4)

Введены следующие безразмерные параметры:

                                                                                      (5)                     

Решение уравнения (3) отыскивается в виде суммы четырех решений

 ,                           (6)

в котором - неизвестные функции, – некоторое действительное число.

Для определения функций          получается

 ,                                     (7)

в которых кi=1 при i=1,2, и ki= –1 при i=3,4.

Если учесть (4), то уравнения (8)  можно привести к виду

                      (8)

Если  провести замену

                      ,                                                       (9)

то при условии, что  отлично от нуля, уравнение (9) примет вид

                                 (10)

Линейно-независимые решения уравнения Бесселя  (ki=1) и модифицированного уравнения Бесселя   (ki= –1) первого  рода

                                                              (11)

даются функциями Бесселя действительного (I1, Y1 при ki=1) и мнимого

(1, K1 при  ki= –1) аргументов [5] .

Два других решения (11) при определенном ki следует искать как частные решения уравнений

                                 (12)

                                  (13)

Методом вариации произвольных постоянных [6]  можно получить, что

                                   (14)

      при  i=1,2.

        (15)

при  i=3,4.

Таким образом,  решение уравнения (9) может быть записано в виде

                                     (16) 

в котором

                              (17)

при  i=1,2  и

=                             (18)

при   i=3,4.

Тогда

                                            (19)

где  – базисные функции

                               (20)

При этом  продольная  компонента перемещения  записывается в виде

                                  (21)

где под  подразумевается производная этой функции по .

Для реализации единственности решения задачи с однородными граничными условиями на торцах  () необходимо наложить на функцию  условие

                                                     (22)

Вторую произвольную функцию интегрирования  удобно отыскивать в виде

                                      (23)

где - постоянные числа, подлежащие определению.

При условиях (23), (24) продольная компонента перемещения  записывается в виде

                       (24)

Определены неизвестные постоянные из граничных условий на боковых поверхностях цилиндра, а из граничных условии на торцах цилиндра конкретизирован неизвестный параметр .

При этом

                                             (25)

Компоненты деформации и напряжений

                                              (26)

где  

                                  (27)

                                           (28)

-символ Кронекера. Построенное решение для цилиндра конечной длины предполагает, что на наружной радиальной поверхности в качестве граничных условий используются перемещения (см. условие (1)). Этими перемещениями могут быть перемещения другого цилиндра, окружающего исследуемый цилиндр. Поэтому, полученные решения можно использовать в контексте с изучением поведения других слоев слоистого цилиндра.

 

Литература

 

1.       Андреев А.Н., Немировский  Ю.В.  Многослойные  анизотропные оболочки и пластины.- Новосибирск, Наука, 2001. 287с.

2.       Григоренко Я. М., Крюков Н.И. Исследование несиммметричного НДС трансверсально-изотропных цилиндров при различных граничных  условиях.-Прикладная механика, 1998,т.34,№7.с.3-10.

3.       Олегин И.П. Определение напряженного состояния в  трансверсально-изотропных  цилиндрических телах. - Научный  Вестник  НГТУ, 2001, №2.  с. 95-104.

4.           Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. –М., Наука, 1977,415с.

5.           Кузмин Р.О. Бесселевы функции.-Л.-М., ГРОЛ, 1935,249 с.

6.            Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных     

        уравнений.-    М., Вш, 1963.