Математика/1.Дифференциальные          

                                                                                                 интегральные уравнения

 

                                                   к.ф.-м.н. Ысмагул Р.С.

              Костанайский  государственный университет ,  Казахстан   

           

Об одной счетной системе некоторых интегродифференциальных уравнений  в  частных производных

 

        При решении многих задач современной науки и техники часто приходится иметь дело с колебательными процессами, которые описываются дифференциальными уравнениями, как обыкновенными, так и с частными производными. В связи с этим изучение колебательных процессов, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями, имеет исключительное теоретическое и прикладное значение и привлекает пристальное внимание многих исследователей.

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида

     ,                       (1)

       где x,Q,R– n векторы-столбцы; P(t,φ) – матрица размерности n×n, 

φ = ( φ1, …, φт, …) – счетномерный вектор, , >0 – малые параметры.

- дифференциальный оператор вида

           ,                                                                           (2)

где                                                                              (3)

Будем считать, что выполнены условия [1] и ( ), если:

1)      вектор-функция  ограничена и непрерывна по всем

       переменным, обладает  ограниченными и непрерывными производными  первого порядка по     , ; диагонально - почти периодична по , почти многопериодична   по  с -вектор –почти периодом , принадлежит -классу равномерно  относительно ;

2)   непрерывная функция  такова, что существует несобственный интеграл , где   постоянное.

           Пусть  и дифференциальный оператор имеет вид:

                    .                                               (4)                                  

         Рассмотрим линеаризованное уравнение:

                                       .                                                            (5)

         Пусть -матрица типа Грина для уравнения (5) .Будем считать, что выполняется группа оценок , аналогичным оценкам  II(a-b) [1].

          Рассмотрим оператор Т, отображающий каждую вектор-функцию  в вектор-функцию

Для вектор-функции    выполняются соотношения  вида:

, ,                                        

       Тем самым приходим к утверждению теоремы .

              Теорема. Если уравнение (5) некритическое относительно класса  и выполнены условия ,  для уравнения (1), то для всех значений ,  уравнение (1) имеет единственное почти многопериодическое решение из класса , сходящиеся при  в нулевой вектор.

             Рассмотрим  укороченную по φ систему, получающуюся из (1):

  ,                        

где - укороченный дифференциальный оператор.     

        Пусть - матрица типа Грина для линеаризованного уравнения:

                                                             (11)

Доказана теорема по существовании и единственности почти многопериодического решения данной системы в указанном классе для достаточно малых . Далее показывается, что почти многопериодическое решение основной системы может быть равномерно аппроксимировано почти многопериодическим решением системы по  вида: [2]

        

Литература:

1. Умбетжанов Д.У. Почти периодические решения эволюционных уравнений. Алма-ата, Наука, 1990, 188 с.

2.. Исмагулова Р.С. О применении метода укорочения к построению почти многопериодического решения одной системы интегродифференциальных уравнений частных производных // Алма-Ата, 1987, 25 с. Деп. в ВИНИТИ 3.07.87.№5474-В.87 Деп