К.ф.-м.н. Аршава Е.А.

Харьковский национальный университет строительства и архитектуры, Украина

Применение меТОДа ОПЕРАТОРНЫХ ТОЖДЕСТВ при решении задачи ОБРАЩЕНИя ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

1. Общая постановка задачи и её актуальность

Изучается задача обращения некоторых новых классов интегральных операторов методом операторных тождеств, доказывается конечномерность соответствующих коммутационных операторов и исследуется структура обратного оператора. Полученные результаты могут быть использованы при решении задачи фильтрации и прогноза нестационарных случайных процессов и сигналов.

2. Истоки исследования автора

Настоящая работа опирается на метод [1] операторных тождеств, который Л.А.Сахнович использовал для изучения класса уравнений вида

(1)

который является наиболее общим классом уравнений с разностным ядром. Основная идея метода состоит в доказательстве конечномерности соответствующего интегрального оператора. В этом случае обратный оператор к данному интегральному оператору строится при помощи функций, которые определяют вырожденность коммутационного оператора.

3. Цели работы

Изучение задачи обращения оператора вида

(2)

с ядром , которое удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа

(3)

4. Используемый метод операторных тождеств

Можно доказать, что для любого ограниченного оператора вида (2) с ядром, которое удовлетворяет условиям (3), имеет место соотношения:

где

Если оператор имеет ограниченный обратный тогда верно представление:

где кроме того, для выполняются соотношения вида:

(4)

Если оператор ограничен вместе со своим обратным и существуют функции , которые удовлетворяют соотношениям (4), тогда для оператора имеет место интегральное представление:

где выражается через ядро оператора

Литература

1. Сахнович Л.А. Уравнение с разностным ядром на конечном отрезке // Успехи математических наук .– 1980. – т.35, вып. 4 (214). - С.69-129.