Педагогика/5Современные методы                      

                                                              преподавания

 

ф.-м.ғ.к., доцент  Ысмағұл Р.С.,

 Математика мамандығының студенті Ұзақбай Қ.

А.Байтұрсынов ат. Қостанай мемлекеттік университеті                            

                          Қазақстан Республикасы, Қостанай қаласы            

                      

                    Лаплас  интегралының жинақтылығы 

      Нақты айнымалы f(р) функциясының Лаплас түрлендіруі деп,

                      F(р)= dt    (1)

    формуласымен анықталған комплекс айнымалы F(р) функциясын айтады.

          Интеграл (1) жинақты болсын. F(р) функциясын анықтау үшін f(р) функциясына қойылатын талаптарды қарастырайық. Келесілер орынды делік:

1)     – функциясы бөлшектеп – үздіксіз t ≥ 0 мәндеріне;бұл дегеніміз функция не үздіксіз немесе бірінші түрдегі санаулы үзіліс нүктелері бар.

2)     =0, t<0                                                (2)

3)     ≤M ,                                            (3)

M, -const.

        Соңғы 3) шартты барлық шектеулі функциялар орындайды, мысалы, sin t, cos t сондай-ақ барлық t дәрежелік функциялар да, себебі олар көрсеткіштік функциясына қарағанда жай өседі.

      Жоғарыда айтылған үш шартты орындайтын кез келген функциясы түпнұсқа деп аталады. (1) формуламен анықталатын F(p) функциясы оның Лаплас бойынша бейнесі деп аталады.

      Түпнұсқа f(t) мен бейнесі F(p) арасындағы сәйкестік

(p)                немесе       F(p) f(t)

түрінде  өрнектеледі. Кейде былай да көрсетіледі:

    f(t)  F(p) .

Бейнелердің жалпы қасиеттеріне көшейік.

     Функция f(t) түпнұсқа делік. Онда Лаплас интегралы

                           F(р)= dt  . 

    Rep> ,  3) шартындағы мәндерінде абсолютті жинақы және Rep>  жарты жазықтығында аналитикалық функция болып, бейнені анықтайды.

   Абсолютті жинақтылығын дәлелдеу үшін 3) шартты пайдаланамыз. Егер =    десек, ,

                   (5)

Онда

себебі теорема шарты бойынша

  .

Демек,  Лаплас интегралы абсолютті жинақты.

     Мысал ретінде  функциясының бейнесін табайық

.

|   ,

егер     .                                                            Бұл мүмкін,егер Re(p-a)=Rep- , яғни Rep  болсын.Сонымен:

               

      Лаплас  интегралының жинақтылығы  Rep  мәндеріне ғана деп көрсетілгенімен, мысалдан функцияның аналитикалығы  барлық мәндерінде екендігін көреміз. Сонда  функциясы Rep=  мәндеріне ерекше нүктелі емес деген тұжырымға келеміз: барлық ерекше нүктелер Rep=  түзудің үстінде жатады.

   Кез келген  бейнесінің шексіздіктегі өзгерісін қарастырайық.

Яғни,

                       ,

екендігін көреміз. Мұндағы  3) шарттағы тұрақты және  Rep, осы себепті егер

                     Демек,            

      Басқаша айтқанда егер  шексіздікте аналитикалық  болса, онда оның міндетті түрде нөлі бар.

      Түпнұсқалардың арасындағы күрделі қатынастар олардың бейнелерінің арасында көбіне жеңіл болады. Осы себепті Лаплас түрлендірулерінің  қасиеттеріне негізделген операциялық есептеу теориясы көптеген есептерді шешуге қолданылады. Мысалы түпнұсқалардағы дифференциалдық теңдеулерден бейнелерге алгебралық теңдеулер алынады. Осы теңдеулері шешіп, бейнелерден түпнұсқаларға көшу нәтижесінде бастапқы дифференциалдық теңдеулердің шешімдеріне көшеміз.

 

Әдебиет:

1. Ильин В. А., Садовничий В.А., Сендов Б., Математический анализ, т. 2.-М.: МГУ,  1987.