Кипорук А.С., Фоминых Д.П.

Лесосибирский педагогический институт – филиал СФУ

Применение программы «Живая геометрия» при изучении кривых второго порядка

   Для активизации учебного процесса, повышения интереса к предмету можно использовать компьютерную программу "Живая геометрия", которая  представляет собой электронный аналог готовальни, разумеется, с дополнительными возможностями, например, таким как создание своеобразных геометрических "мультфильмов".  Следует отметить, что сама программа  не является обучающей и "сама ничего не делает", - все чертежи в ней создаются пользователем, а программа лишь предоставляет для этого необходимые средства, так же как и возможности для усовершенствования чертежей и их исследования.

Одним из центральных разделов элементарной геометрии является теория кривых второго порядка. Решение задач, связанных с кривыми второго порядка, вызывают большие затруднения, особенно если линии второго порядка вводятся аналитически. На наш взгляд, более целесообразно начинать изучение кривых второго порядка с рассмотрения их геометрических свойств. Большую помощь в этом может оказать программа "Живой геометрии". Рассмотрим ряд примеров.

Задача № 1.  Построить геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F и данной прямой d.

Построение:

1. Возьмем на прямой d произвольную точку A.

2. Проведем через точку А прямую l, перпендикулярную к прямой d.

3. Построим серединный перпендикуляр n к отрезку FA.

4. Найдем B - точку пересечения серединного перпендикуляра n и прямой l.

5. Зададим точке B опцию оставлять след, и начнем с помощью опции Анимация точки перемещать точку A по прямой d. Тогда на рисунке точка B начнет вычерчивать параболу.

Доказательство: Нам нужно доказать, что FB=FA. По построению, AM=FM, BM перпендикулярно AF, значит, в треугольнике AFB BM будет являться одновременно медианой и высотой, следовательно,  треугольник AFB равнобедренный и  BF=BA,  т.е.  точка  B  равноудалена и от прямой d , и от точки F. Полученная фигура будет являться параболой по определению.

Аналогично можно ввести эллипс как геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, и гиперболу как геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек плоскости, есть величина постоянная.

Задача № 2.  Даны две пересекающиеся прямые m и n. Равнобедренный треугольник ABC скользит своими вершинами B и C по этим прямым. По какой траектории движется вершина А?

Построение:

1.       Отметим на прямой  n произвольную точку A.

2.       Проведем  окружность w (A;j). Найдем точки D и C  пересечения w с m.

3.     Построим три дополнительных окружности одинакового радиуса равного k из точек D , С и  A. Найдем точки F и В  пересечения  этих окружностей.

4.     Зададим точке А анимацию, а  точкам F и B опции оставлять след. При анимационном перемещении точки А по прямой n точки F и B  вычертят эллипс.

Задача 3. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных окружностей, w1 c центром в точке О1 и радиусом r1  и w2  c центром в точке О2 и радиусом r2 , такой что  r2 < r1 , одинаковым  образом (или обеих внутренним или обеих внешним).

Построение:

1.   Построим отрезок  DH равный разности радиусов данных окружностей.

2.   Проведем луч О2 К  и отметим на нем произвольную точку N.

3.   Проведем  две дополнительных окружности w3(O2,O2N) и w4(O1,O2N+DH). Найдем точки М1 и М2 пересечения построенных окружностей. Зададим для них опции Оставлять след.

4.   Зададим Анимацию точки N. При анимационном перемещении этой точки по лучу О2 К  точки М1 и М2 вычертят одну ветвь гиперболы.

5.   Для построение второй ветви гиперболы проведем отрезок XY больший, чем отрезок O1O2 и задаем анимацию точки Y.

6.   В точке Х строим две дополнительных окружности радиусами r1 и r2 они пересекают отрезок XY в точках S1 и S2 соответственно.

7.   Построим окружности w5(O2,M3Y) и w6(O1,M4Y). Найдем точки М3 и М4 пересечения построенных окружностей. Зададим для них опции Оставлять  след.

8.   Зададим Анимацию точки Y.  При анимационном перемещении этой точки по отрезку XY, точки М3 и М4 вычертят вторую ветвь гиперболы.

 

Доказательство:  Рассмотрим для определенности случай, когда окружности с центрами O1, O2 и радиусами r1, r2 лежат одна вне другой. Если окружность с центром O и радиусом r касается обеих окружностей внешним образом, то OO1 =r +r1, OO2 =r +r2 и, значит, OO1 −OO2 = r1 − r2, т. е. O лежит на одной из ветвей гиперболы с фокусами O1, O2. = r1 − r2, т. е. O лежит на одной из ветвей гиперболы с фокусами O1, O2. Аналогично если окружность касается обеих данных внутренним образом, то ее центр лежит на другой ветви этой гиперболы. Если же одно из касаний внешнее, а другое внутреннее, то модуль разности расстояний OO1 и OO2 равен r1 + r2, т. е. O описывает другую гиперболу с теми же фокусами.

На наш взгляд, такое изучение кривых второго порядка является наиболее эффективным, так как даёт   учащимся   более целостное представление о  кривых второго порядка. Изучение геометрии становится привлекательным, появляется заинтересованность и потребность в получении дополнительных знаний, раскрывается интерес к научной деятельности и развивается творческая деятельность учащихся.

 Литература:

1.       Акопян А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка.- М.:МЦНМО, 2007.-136 с. 

2.       Баранова Е.В. Методические основы использования учебных исследований при обучении геометрии в основной школе: - Саранск: АГПИ им. А.П. Гайдара, 1999 - 163 с.

3.       Елисеев И.Б. Вычерчивание кривых второго порядка в среде Geogebra на основе геометрического моделирования операций над числами//Материалы II Всероссийской научно-методической конференции, Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева, г. Красноярск, 2013- С. 290-294.

4.       Никифорова М. Новые компьютерные технологии // Математика. - 2004. - №31. - С.28-30.

5.       Смирнова И.М. Смирнов В.А. Геометрия. 7-9 классы.  2-е изд., испр. - М.: 2007. - 376с