А.И. Долгарев

ГРУППЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО И ТРАНСЦЕНДЕНТНОГО ПОРЯДКА

Возможны не только целые степени элементов групп (в случае мультипликативной записи групповой операции). Известны еще группы с однозначным извлечением корней, степени их элементов являются рациональными. Группа называется делимой, если для любого и натурального в существует элемент , что , отсюда . Если из следует , то называется группой с однозначным извлечением корней, [1, c. 104]. На мультипликативной группе комплексных чисел модуля 1 операция возведения в действительную степень в [2] определена так, что является группой с однозначным извлечением корней. Вместе с тем, на определено компактное действительное линейное пространство.

Ниже рассматриваются рациональные, иррациональные, трансцендентные степени элементов из группы и соответствующие порядки элементов. Для каждого из указанных чисел, группа содержит квазициклические группы иррационального и трансцендентного типа.

1. Группа корней из единицы

Рассматриваются подгруппы группы вращений плоскости, т.е. подгруппы мультипликативной группы комплексных чисел модуля 1. Всякое комплексное число модуля 1 записывается в виде

, , .

Групповая операция:

.

В [2] введена внешняя операция возведения комплексных чисел в действительную степень:

, . (1)

Определение операции основано на том, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются а аргументы суммируются. Если , ( натуральное), , то рассматривается только одно значение корня ой степени из комплексного числа, т.е. является группой с однозначным извлечением корней. Как показано в [2], для всякого все значения корней ой степени из единицы входят в группу . Поэтому есть группа корней из 1. Относительно умножения и возведения в действительную степень, группа является компактным действительным линейным пространством, [2]. Отметим, что для всякого действительного числа выполняется равенство

, , , (2)

кольцо целых чисел. Компактное линейное пространство получено на числовом множестве, на котором определена групповая операция, связанная с ней внешняя операция и выполняются все аксиомы линейного пространства над полем.

2. Порядки элементов группы

Выполняется следующее равенство для чисел из :

. (3)

Равенство верно для всех значений степеней , см. (2). Возведение комплексных чисел из в степень равносильно возведению действительных чисел в нулевую степень. Понятно, что

.

Равенство (3) не означает, что период группы равен . Укажем порядки некоторых элементов.

1. ЛЕММА. Если , , , то . #

Число характеризует поворот плоскости на угол .

2. ЛЕММА. В группе не существуют поворотов рационального порядка.

# В самом деле, пусть , , имеем . Выполняется . Из следует . Значит, поворотов рационального порядка в группе нет. #

3. ТЕОРЕМА. Порядком элемента группы может быть число натуральное, иррациональное и трансцендентное.

# Если натуральное, то порядок числа в группе есть . Пусть число иррациональное или трансцендентное. В группе содержится число . Выполняются равенства: . #

Подгруппа в порядка 2 состоит из чисел 1, . Обратным для является =. Подгруппа порядка состоит из чисел , . Указанные числа составляют модуль в линейном пространстве .

2. Квазициклические подгруппы в

Группа бесконечна, содержит элементы конечного и бесконечного порядка. Наличие в группе квазициклических групп отмечается в [3, c. 26]. Порождающими элементами являются , где

.

Это генетический код группы . Порядки порождающих: . Число неограниченно увеличивается. Группа содержит цепь подгрупп

,

для каждого существует единственная подгруппа порядка . Порождающие элементы в группе таковы: .

Существуют квазициклические группы типа , , [4]. Пусть каноническое разложение числа , – простые. Для набора простых чисел существует единственная квазициклическая группа типа , [4, теоремы 10 и 11], с порождающими ,

,…, ,… .

Генетический код группы есть

.

Цепь подгрупп является уплотняемой; можно получить неуплотняемую цепь, рассматривая порождающие, для которых

, , … , ,

, , … , , и.т.д. .

Схема уплотнения цепи подгрупп указана в [4]. В [4] указана полезность изучения группы как группы всевозможных вращений плоскости вокруг фиксированной точки.

3. Рациональные группы

Группа содержит полную рациональную группу , [3, c. 27]. Она является объединением возрастающей цепи циклических подгрупп

.

Ее порождающие элементы удовлетворяют соотношениям

.

Для всякого определен эпиморфизм , причем фактор-группа изоморфна . Здесь есть подгруппы всех рациональных чисел, знаменатели которых являются степенями . В [3, c. 27] указано значение полной рациональной группы в теории групп без кручения. Линейное пространство содержит полную рациональную группу, но, по лемме 2, не содержит элементов рационального порядка.

4. Трансцендентные квазициклические группы

4. ТЕОРЕМА. Группа содержит группу для всякого трансцендентного числа .

# Группа содержит числа , что ; они обладают свойством

.

В группе содержится цепь подгрупп , они составляют квазициклическую группу . #

Если , то . Имеется квазициклическая подгруппа .

5. Иррациональные квазициклические группы

Пусть, для примера, . Имеются числа ,

, . (4)

, , , ,

, … .

, , …, , … .

Таким образом, выполняется

5. ТЕОРЕМА. Группа содержит квазициклическую группу . #

Более общим является следующее утверждение.

6. ТЕОРЕМА. Для всякого иррационального числа вида , где натуральные, , существует иррациональная квазициклическая группа , подгруппа в . #

7. ТЕОРЕМА. Цепь квазициклической группы является уплотнением цепи квазициклической группы .

# Между всякими двумя подгруппами цепи группы вставляется одна из подгрупп цепи группы . Между числами и , порождающими группы , где , , находится число , , числа входят во множество порождающих группы ; между и находится число , , ,

;

и – порождающие , , и – порождающие , см. (4).

Сравнивая цепь подгрупп с порождающими (4) с цепью подгрупп, порождающие которых имеют четные номера в (4) , обнаруживаем, что последняя цепь есть цепь подгрупп квазициклической группы . Т.е. цепь подгрупп группы уплотняется подгруппами цепи подгрупп группы , см. (4). #

Если , , то квазициклические группы в уплотняют квазициклическую . Между всякими двумя порождающими группы содержатся чисел, являющимися порождающими элементами группы ; порождающие группы входят в число порождающих группы . Имеется такой начальный отрезок порождающих группы , что:

, , … , , ,

есть порождающий в .

Степени радикалов в своем возрастании не ограничены, поэтому квазициклические группы бесконечно уплотняемы. Выполняется

8. ТЕОРЕМА. Всякая квазициклическая группа и всякая квазициклическая группа конечно и бесконечно уплотняемы до квазициклических групп.

Компактное действительное линейное пространство очень богато как конечными, так и бесконечными подгруппами, среди них есть такие, которые являются модулями. Это подгруппы натуральных порядков. Имеются подгруппы, на которых определены линейные пространства над полем рациональных чисел.

6. О порядках и степенях элементов

В произвольной группе для всякого неединичного элемента (в случае мультипликативной записи групповой операции) определены элементы , . Если элементы повторяются, то порядок элемента конечен и является числом натуральным, если не повторяются, то порядок элемента бесконечен. Высказывание верно, если группа не совпадает с группой с однозначным извлечением корней. Элементы группы имеют не только натуральные порядки, как установлено выше. Указаны элементы группы , имеющие конечные порядки и бесконечные порядки.

В группе содержатся элементы, порядки которых иррациональны или трансцендентны. Имеется два комплексных числа

, ,

число трансцендентное. Число является степенью с показателем второго числа :

,

действительно, аргумент числа есть произведение аргумента числа на число :

.

Приведенные соображения ничего не доказывают, но полезны для определения (1). Для любого действительного числа , кроме рационального, отличного от целого, в имеется подгруппа порядка . В содержатся и бесконечные подгруппы – это квазициклические подгруппы, причем типом квазициклической подгруппы может быть любое действительное число, кроме рационального, отличного от целого. Имеются квазициклические группы типа , , типа , иррациональное, типа , трансцендентное. Справедливо утверждение.

9. ТЕОРЕМА. Всякая конечная подгруппа группы является циклической.

# Пусть подгруппа группы порядка . Каким может быть число , указано перед формулировкой теоремы. Группа содержит число порядка , оно таково, что . Циклическая подгруппа имеет порядок , следовательно, группа исчерпывается элементами группы . #

10. ТЕОРЕМА. Всякая конечная подгруппа группы является подгруппой квазициклической группы из .

# По теореме 9, конечная подгруппа из циклическая, , , . Группа содержит числа , где . Выполняется равенство . Группа содержит квазициклическую группу с порождающими . #

Бесконечных подгрупп в большое изобилие и разнообразие.

Множество комплексных чисел модуля 1 оказалось линейным пространством над полем действительных чисел относительно введенных на этом множестве операций. Операция (1) отличается от общепринятой операции возведения в рациональную степень (не совпадает с формулой Муавра). Но является обобщением операции возведения комплексных чисел в целую степень. Важно, что для рассматриваемых операций выполняются аксиомы линейного пространства. Не менее важно, что пространство оказалось компактным. Такой пример компактного линейного пространства имеет большое значение в теории линейных пространств, в которой надо различать случаи компактности и некомпактности. Знаменательно, что сетевые линии пространства комплексных чисел оказались известными линиями – логарифмическими спиралями, [2], и получены они на основе операции (1).

Использованная литература

1. Мельников О.В., Ремесленников В.Н. и др. Общая алгебра. Т.1. Под ред. Л.А. Скорнякова. – М.: Наука, 1999. – 592с.
2. Долгарев А.И. Действительное компактное линейное пространство// Материали за 9-а международна научна практична конференция «Настоящи изследвания и развитие», 2013. Том 27. Математика. Физика. Съвременни технологии на информации. София: Бял ГРАД-БГ» ООД 2013, С. 21 – 28.
3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. – М.: Мир, 1974. – 356с.
4. Долгарев А.И. Квазициклические группы различного типа. – Материали за VIII Международна научна практична конференция «Новини на научния прогрес – 2012» 17 – 25 август 2012 г. Том 9. Математика. Съвременни технологии на информации. – София: Бял ГРАД-БГ ООД 2012, С. 39 – 46.