ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА В ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

Кажикенова А.Ш.*, Алибиев Д.Б.*, Сейтимбетова А.Б.*, Белопольский Д.**

*Карагандинский государственный университет им. Е.А. Букетова, Казахстан

**Университет Дуйсбург-Эссен, Германия

Рассмотрим стационарную систему уравнений Навье - Стокса в переменных "функции тока и вихря скорости" в односвязной области , представленную в следующем виде:

(1) с краевым условиями

(2)

где n - является внешней нормалью к границе области , Re – число Рейнольдса, – функция тока, – вихрь скорости, - двумерный оператор Лапласа. При этом для простоты будем предполагать, что область – квадрат, т.е.

Для численного решения уравнений (1) в , рассмотрим разностную схему

(3) ,

где - разностный оператор Лапласа, обозначения вида , - соответствуют симметричным разностным формулам для первой производной сеточной функции .

Для функции тока краевые условия возьмём в виде

(4)

а для вихря скорости выбираем в виде формулы Тома, соответствующей условиям (2). Например, для левой границы положим

(5)

Введем вспомогательную функцию, определенную равенствами

Тогда с учётом краевых условий вида (4) и (5) уравнения (3) для можно представить в следующей форме [1-3]:

(6)

с однородными краевыми условиями [1]:

(7)

При этом оператор В определяется следующим образом

(8)

( )

где

Таким образом, конечно-разностная задача (3) - (5) сведена к соотношениям (6) - (8). Опуская знак " " в записи и сравнивая соотношения (6) с операторно-разностными уравнениями

,

где операторы А,В и нелинейная форма 3( ) считаются заданными на всем пространстве Н, видим, что

,

а пространство Н - множество сеточных функций, обращающихся в нуль на и принадлежащих к - эквивалентная норма

(9)

Далее, для реализации решений разностной задачи (4)-(8) рассмотрим итерационную схему вида [1]:

(10)

(11)

Очевидно, что оператор, определенный по формуле (8), положительный, т.е. . Так как , можно положить

Имеет место

Теорема 1. Для решения задач (10) - (11) справедлива оценка

где

Обозначим через решения задачи (6) - (8). Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполняется условие

тогда существует постоянная , и имеет место оценка

,

т.е. итерации (10), (11) при сходятся к решению задачи (6) - (8).

Для доказательства данной теоремы достаточно проверить справедливость выполнения условия вида

где константа с, вообще говоря, может зависеть от размерности пространства Н, а - равномерно ограниченная константа.

В пространстве рассмотрим

Заметим, что согласно теорем вложений

Таким образом, все условия теоремы 2 и в случае схемы (6)-(8) выполняются.

При доказательстве теоремы 2 мы предполагали, что решение рассматриваемой стационарной задачи лежит в определённом пространстве. В самом деле, покажем, что решение задач (5) - (8) принадлежит Соболевскому классу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алибиев Д.Б. Об одном методе приближенного решения уравнения Навье-Стокса. // Сб. КазГУ, 1991. Математическая кибернетика и управление движением. - C.39-44.

2. Алибиев Д.Б., Темирбеков Н.М. Метод разделения областей для решения уравнения Навье-Стокса с быстроменяющимися коэффициентами // Тезисы докладов конференции молодых учёных КазГНУ им.Аль-Фараби. 25-26 марта, 1993. - C.З.

3. Джакупов К.Б. О некоторых разностных схемах для уравнений Навье-Стокса. - В кн.: Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, Т.2, № 1, I97I. - C.I7-24.