Меерсон А.Ю.

кандидат физико-математических наук, доцент

Черняев А.П.

доктор физико-математических наук, профессор

Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова, Россия

Московский физико–технический институт (государственный университет), Россия

 

ОГРАНИЧЕНИЯ В ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ В МОДЕЛИ ХАРРОДА-ДОМАРА

 

Изучаются оптимизационные задачи с ограничениями различного рода основанных на модели Харрода-Домара. В этих задачах в качестве управления выступает совокупное потребление. Уравнение связи в рассматриваемых задачах – уравнение динамического баланса между доходом и инвестициями с предположением пропорциональности инвестиций и производной от дохода. Рассмотренные задачи, основанные на модели Харрода-Домара, заключаются в максимизации функционала, выражающего интегральную дисконтированную полезность совокупного потребления. Помимо вариационной задачи рассмотрены задачи Понтрягина и Дубовицкого-Милютина.

Ключевые слова: функция полезности, совокупное потребление, уравнение динамического баланса, вариационная задача, ограничение.

 

Дифференциальное уравнение модели Харрода-Домара с экзогенной динамикой потребления произвольного характера [1 – 6] имеет вид

,                                                                  (1)

где  – время, – доход, который рассматривается, как сумма совокупного потребления  и инвестиций .  Основная предпосылка: , где - коэффициент капиталоемкости прироста дохода, который в общем случае зависит от времени и удовлетворяет неравенству

                                                                                    (2) 

Предполагаются выполненными начальные условия

, ,                                                     (4)

где , и – начальный и конечный момент времени.

При условиях (2) и (3) решение уравнения (1) дается формулой [6]

,                                  (4)

Задачу оптимального управления в самом общем виде ставим, как задачу максимизации интегральной дисконтированной полезности потребления [6]

,                                (5)

где d > 0 – коэффициент дисконтирования. Следуя [3 – 6] считаем, что полезность потребления оценивается функцией u(C), которая описывает постоянное отвращение к риску по Эрроу – Пратту [3 – 6]:

.                                                       (6)

Экономический смысл (6) ясен из обозначения .

Тогда g(c) является предельной полезностью потребления. Далее, с учетом (6)

, .

Здесь Ec(g) – эластичность изменения переменной g по переменной С. Далее, мы предполагаем, что g(С) – функция монотонно невозрастающая и, поэтому, a ³ 0. Противоположное предположение возрастания g(С), очевидно, связано с риском. Поэтому, случай, когда  g(С) не возрастает естественно назвать отвращением к риску.

Рассматривая (6), как  дифференциальное уравнение, получим

.         (7)

Далее, выражая потребление из уравнения (1) и подставляем в левую  часть (5):

.                                                                              (8)

Рассматривая разность

,                                                                               (9)

где  удовлетворяет условиям

,                                                                                             (10)

используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, интегрируя по частям с использованием (10), для (9) при (8) получаем

,                                             (11)

где

, при .                                                   (12)

Используя основную лемму вариационного исчисления  из (11) и (12)  будем иметь уравнение Эйлера:

.                                                                         (13)

Для проверки реализации экстремалью, определяемой уравнением (13) и условиями (10) экстремума функционала (5) или, что то же самое (8) достаточно рассмотреть разность (9), где – малое возмущение, удовлетворяющее условию (10) и воспользоваться тем, что .

Справедливость последнего неравенства следует из (6).

Весьма удобно воспользоваться следующей терминологией. С формой записи функционала (8), который нужно максимизировать, связана простейшая вариационная постановка задачи [2 – 6].

В соответствии со сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией задачу максимизации функционала (5) при условиях (3), уравнении связи (1) и добавленном ограничении

                                                                             (14)

на совокупное потребление удобно назвать задачей Понтрягина. В (14)  – совокупный прожиточный минимум, а – совокупный прожиточный максимум. Однако, и задача Понтрягина может быть поставлена с дополнительным фазовым ограничением, например

.

Такую задачу можно назвать задачей Дубовицкого-Милютина [2 – 5].

В настоящей работе наиболее подробно рассмотрена вариационная постановка задачи оптимального управления в модели Харрода-Домара. Однако, указана возможность и других постановок задач оптимального управления, а именно: задач Понтрягина и Дубовицкого-Милютина. В роли управления выступает совокупное потребление. Показаны  возможности вариационного метода, которые обусловлены точным решением уравнения связи, данного формулой (4), которое обеспечивает успех  настоящего исследования. Можно также рассмотреть оптимизационные задачи в [7, 8] и поставить задачи оптимального управления в [9, 10].

 

Литература:

1.                          Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1998 – 368 с.

2. Колемаев В.А. Математическая экономика. Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 240 с.

3. Дикусар В.В., Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Задачи оптимального распределения ресурсов на примере домашних хозяйств. М.: ВЦ РАН, 2004. 58 с.

4. Дикусар В.В., Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Модели потребления и вопросы оптимального управления  // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. М.: ВЦ РАН, 2005. С. 46 – 61.

5. Дикусар В.В., Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Задачи оптимального управления потреблением в домашних хозяйствах  // Динамика неоднородных систем . М.: ИСА РАН, 2005. Вып. 9. С. 212 – 229.

6. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Вариационная задача оптимизации среднедушевого потребления модели Солоу для уравнения с переменными коэффициентами, описывающими фондовооруженность // Менеджмент и Бизнес-Администрирование. 2015, 3. М. С. 127 – 131.

7. Новоселов А.Л., Новоселова И.Ю. Решение задачи векторной оптимизации для одного класса стохастических критериев // В сборнике: Информационные технологии и математические методы в экономике и управлении (ИТиММ-2016) 2016. - С. 70-80.

8. Новоселов А.Л., Новоселова И.Ю., Желтенков А.В. Оптимизация использования альтернатив природных ресурсов в экономике РЕГИОНА // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Экономика. 2016. № 2. - С. 104-114.

9. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Интегральный метод исследования переходного режима в Модели Солоу  // Экономика природопользования. 2010. № 3. С. 105-109.

10. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Интегральное уравнение переходного режима в модели Солоу // Вестник МГУП имени Ивана Федорова. 2010. № 4. С. 270 – 274.