Тождественные преобразования в курсе алгебры

В любой области знаний, использующей математику, появляется необходимость заменять одно выражение другим, более простым или более удобным для того, чтобы решить рассматриваемую задачу. То есть, приходится выполнять тождественные преобразования.

Тождественные преобразования представляют собой одну из главных линий школьного курса математики. На их основе формируются представления об аналитических методах математики. Как правило, решение практически каждой математической задачи предполагает выполнение некоторых тождественных преобразований.

Целью исследования является изучение теоретических и практических особенностей при выполнении тождественных преобразований в школьном курсе математики.

При изучении тождественных преобразований любого вида выражений необходимо рассматривать следующие вопросы:

1. Теоретические основы преобразований;

2. Определение (или описание);

3. Виды преобразований.

Обучающиеся знакомятся:

·с новыми понятиями (тождество, тождественные преобразования, тождественно равные выражения, одночлен, многочлен, рациональная дробь и др.),

·с самими тождествами:

·с задачами нового содержания: «Прочитать выражение», «Доказать тождество», «Упростить выражение», «Заменить выражение тождественно равным» и др. Это дает возможность расширить и углубить пользование алгебраической терминологией и символикой.

Изучение тождественных преобразований дает возможность постоянно повторять действия с рациональными (в дальнейшем – и с иррациональными) числами, что способствует отработке вычислительных навыков, в том числе и техники устных вычислений [2].

Обучающиеся овладевают техникой выполнения тождественных преобразований, т.е. учатся свободно выполнять и обосновывать преобразования. Задания содержат несложные доказательства, что способствует развитию дедуктивного мышления. Изучение тождественных преобразований предоставляет большие возможности для формирования таких качеств математического мышления, как самостоятельность, гибкость, глубина, критичность, рациональность и т. п. [1].

Культура выполнения тождественных преобразований характеризуется следующими признаками:

а) прочное знание свойств операций над числами, выражениями;

б) умение правильно обосновывать преобразование;

в) умение следить за изменением области определения в цепочке преобразований;

г) быстрота и безошибочность тождественных преобразований.

Воспитательное значение. Специфика раздела «Тождественные преобразования выражений» заключается в том, что он открывает широкие возможности для выработки у обучающихся важных трудовых умений, способствует развитию воли, сообразительности, творческой инициативы, самоконтроля и т.п.

В частности, при выполнении заданий комбинированного характера ученик должен вспомнить все известные правила выполнения тождественных преобразований, суметь, следуя этим правилам, шаг за шагом сделать все выкладки, не допустить никаких ошибок, так как малейшая ошибка, например, неверно поставленный знак, делает бессмысленными все усилия. Такая работа способствует воспитанию настойчивости, аккуратности, внимания, осмыслению материала с новых позиций [9].

Целесообразно подобранные упражнения, например, при введении в тему, способствуют развитию интереса к математике, мотивации изучения материала.

Практическое значение:

1. Изучение тождественных преобразований служит аналитическим аппаратом при:

· доказательстве теорем и выводе формул,

· решении уравнений, неравенств и их систем,

· упрощении выражений,

· нахождении значений выражений,

· исследовании функций и др.

2. Тождественные преобразования (особенно в комплексе с решением уравнений, неравенств, систем) находят широкое применение в смежных дисциплинах (физика, химия) при работе с формулами, решении содержательных задач, подготавливают учащихся к восприятию таких важнейших понятий, как алгоритм, программа и др. Здесь имеют место межпредметные связи.

3. Реализуются внутрипредметные связи (например, при нахождении приближенных значений кубов чисел) [4].

В связи с этим подчеркнем, что основная задача тождественных преобразований – не действия над выражениями, а приведение выражений к стандартному виду. Сделаем замечание по терминологии: «к стандартному», «к простейшему», «к нормальному», «к каноническому» - могут использоваться как синонимы [3].

При выполнении тождественных преобразований следует обращать внимание учащихся на то, что в каждом конкретном случае целью преобразований является представление выражения в виде, удобном для решения поставленной задачи.

Таким образом, изучение тождественных преобразований способствует совершенствованию вычислительной подготовки учащихся, формированию представления об аналитических способах решения задач. Умение проводить тождественные преобразования, знание основных тождеств – одно из условий успешности обучающихся во многих других темах школьного курса математики.

Литература:

1. Асмолов А.Г. Математика в школе / А.Г. Асмолов – М.: Просвещение, 2011.

2. Блох А.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. В.И.Мишин – М.: Просвещение, - 1987. – Гл. 5.

3. Виленкин Н.Я. Равенства, тождества, уравнения, неравенства / Н.Я.Виленкин – М.: Просвещение, – 1970. – 271 с.

4. Макарычев Ю.Н. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С. А. Теляковский – М. : Просвещение, 2008. - 271 с.