Механика/ Механика деформируемого твердого тела
Поленов В.С.
Институт экономики и права, Воронеж
.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ
ВОЛНЫ В ДВУХФАЗНЫХ ЗЕРНИСТЫХ СРЕДАХ
Рассматриваются волны
ускорения в двухфазной смеси среды, состоящей из зернистой твердой фазы (вторая
фаза) и жидкости или газа (первая фаза), заполняющая поры или промежутки между
зернами. Зерна твердой фазы могут иметь любую конфигурацию. В таких средах
механизм передачи усилия проявляется через контакты между зернами. В это случае
предполагается, что микродеформации и смещения твердой
фазы малы и эффекты прочности твердой
фазы проявляются в тензоре фиктивных напряжений. Жидкость первой фазы будем
считать сжимаемой
В предыдущих работах
[1-6] рассматривалось деформирование однородных и неоднородных пористых сред
насыщенных жидкостью, где показано, что в таких средах существует два типа вон
и определены скорости и интенсивности их распространения.
Основные соотношения,
определяющие процесс динамического деформирования двухфазных зернистых сред
можно описать системой [7-8]:
- уравнения состояния межфазных
связей (Обобщенный закон Гука для фиктивных напряжений двухфазной среды)
|
|
(1) |
где 
тензор фиктивных напряжений в двухфазной среде; 
тензор деформаций твердой фазы; 
фиктивные модули упругости среды. Они однозначно выражаются
через модули упругости Ламэ и модули упругости
зернистого скелета (твердой фазы); 
давление жидкости (газа) первой фазы; 
символ Кронекера; 
доля объема твердой фазы в среде.
Компоненты
контравариантных тензоров будем обозначать верхними индексами.
Скорость тензора упругих
деформаций твердой фазы выражается через скорости твердой фазы 
по формуле
|
|
(2) |
- уравнения совместного
деформирования фаз среды
|
|
(3) |
где 
среднее давление в
твердой фазе. Оно находится по формуле
|
|
(4) |
Из (3) с учетом (1) и (4) находим
соотношения для определения давления в первой фазе, выраженное через деформации
твердой фазы
|
|
(5) |
- уравнения движения фаз
среды (импульсов фаз) без учета вязкости жидкости
|
|
(6) |
|
|
(7) |
где 
скорость перемещения фаз среды; 
частная производная по времени; 
частная производная по координате 
; По повторяющимся верхними индексами проводится суммирование
от 1 до 3.
В формулах (6) – (7) 
коэффициент
присоединенной массы, характеризующий особенности структуры среды 
; 
приведенная плотность i-ой составляющей в единице объема
среды; 
- доли объема среды; 
- истинные плотности вещества фаз.
Исследуем распространение
волн ускорения в двухфазной зернистой среде
Волна ускорения в
двухфазной среде определяется как изолированная поверхность, на которой
фиктивные напряжения, скорости фаз и давление первой фазы непрерывны, а их частные
производные претерпевают разрыв. Параметры среды непрерывны. Среда перед
фронтом волны находится в недеформированном состоянии.
Для определения скоростей
волн ускорения двухфазной среды, продифференцируем (1) и (5) по 
|
|
|
или с учетом (2)
|
|
(8) |
|
|
(9) |
Для соотношений (6), (8)
и (9) возьмем разность производных на различных сторонах волновой поверхности.
В результате получим
|
|
(10) |
|
|
(11) |
Для определения скорости
волновой поверхности к системе (10) и (11) применим геометрические и
кинематические условия совместности первого порядка [9]
|
|
(12) |
где
величины скачков первых производных скоростей фаз; 
величина скачка производной напряжения, 
величина скачка первой производной давлении первой фазы; 
скорость движения волновой поверхности; 
компоненты единичного вектора нормали к волновой поверхности.
Квадратными скобками обозначается разность между значениями функции на задней и
передней сторонах поверхности разрыва.
Учитывая условия
совместности для разрывов производных первого порядка заданных функций (12) и
соотношения (10) - (11), получим систему уравнений для определения скорости
распространения волн в двухфазной среде
|
|
(13) |
Исключая из (13) величины 
и 
, получим однородную систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными относительно 
и 
|
|
(14) |
Для определения скорости
продольной волны умножим оба уравнения (14) на 
и просуммируем по
повторяющимся верхним индексам, получим систему уравнений относительно 
и 
|
|
(15) |
Условием существования
ненулевых решений (15) служит равенство нулю ее определителя, что приводит к
уравнению
|
|
(16) |
Тогда квадрат скорости продольной
волны в двухфазной среде будет иметь вид
|
|
(17) |
Или с учетом 
из (5), выражение для
скорости продольной волны запишем в виде
|
|
(18) |
Из формулы (18) следует,
что в двухфазной зернистой упругой среде распространяется одна продольная
волна. Если связь между фазами отсутствует 
, доля жидкой фазы 
и фиктивные модули
упругости совпадают с модулями упругости твердой фазы, то в такой среде
распространяются чисто упругие продольные волны, скорость которых находится по
формуле 
|
|
(19) |
Если 
, то из (14) следует, что в рассматриваемой среде распространяются
поперечные волны только в твердой фазе и их скорости определяются формулой 
|
|
(20) |
Если,
, то из (20) следует, что в рассматриваемой среде
распространяются чисто упругие поперечные волны, скорость которых определяется
формулой
|
|
(21) |
Получим уравнения для
определения интенсивности затухания волн ускорения зернистой среды. Для этого
продифференцируем (8), (9) по 
, а (3) по , и учитывая (2) и (8), получим систему уравнений
|
|
(22) |
|
|
(23) |
С учетом (22) получим систему
уравнений относительно скоростей фаз зернистой среды
|
|
(24) |
Возьмем разность выражений (24) на
различных сторонах волновой поверхности
|
|
(25) |
Запишем геометрические и
кинематические условия совместности второго порядка для продольных волн [9]
|
|
(26) |
где
величины, характеризующие скачки вторых производных скоростей
фаз,
Подставим (26) в 
|
|
(27) |
||
|
|
|
|
|
Умножим обе части
равенств системы (27) на и учитывая, что 
, получим
|
|
(28) |
Исключим из системы (28)
величину 
. Для этого умножим первое уравнение на 
, а второе на 
и сложим, а для
исключения величины 
воспользуемся (16) и
(24). Тогда после преобразований, получим
|
|
(29) |
Для упрощения соотношений
(29) используем следующие преобразования
|
т |
|
Тогда принимая во внимание равенство
|
|
|
и введя обозначения
|
|
|
получим уравнение вида
|
|
(30) |
где
|
|
(31) |
Обозначим через 
расстояние вдоль
нормалей к поверхности 
. Тогда 
производную можно представить в виде [9]
|
|
(32) |
С учетом (32) из (30) и
первого уравнения системы (15), получим дифференциальное уравнение для
определения скорости изменения характеристических величин для продольных волн в
двухфазной зернистой среде.
|
|
(33) |
Соотношения (35)
определяют скорость изменения характеристических величин для продольных волн,
распространяющихся во второй фазе двухфазной зернистой среды.
Известно [9], что на
волновой поверхности, распространяющейся с постоянной скоростью G, средняя кривизна 
поверхности имеет вид
|
|
(34) |
где
и 
средняя и гауссова кривизны волновой поверхности при 
Подставим (34) в формулу
(33) получим
|
|
(35) |
Умножим соотношения (35)
на 
и учитывая, что
интенсивность продольных волн определяется следующим образом [9]
|
|
(36) |
получим решение дифференциального уравнения для определения
интенсивности продольных волн во второй фазе
|
|
(37) |
где
значение интенсивности продольных волн при
Изменение интенсивности
продольных волн в первой фазе (жидкости) найдем из первого выражения (14)
|
|
(38) |
Тогда выражение для
изменение интенсивности продольных волн в двухфазной зернистой среде,
определится формулой
|
|
(39) |
Определим изменение
интенсивности поперечной волны ускорения в двухфазной зернистой среде. Для
этого продифференцируем по 
соотношение,
выполняющееся на поверхности поперечной волны
|
|
(40) |
Применим геометрические и кинематические
условия совместности (27), подставим в (24) с учетом (40), получим
|
+
|
(41) |
Умножим оба уравнения на и просуммируем по
повторяющемуся индексу 
, и учитывая, что 
то получим
|
|
(42) |
Для исключения величины умножим первое уравнение
(42) на 
а второе на и сложим, получим
|
|
(43) |
Согласно (20) 
соотношение (43)
запишем в виде
|
|
(44) |
Соотношения (44)
определяют скорость изменения характеристических величин для поперечных волн,
распространяющихся во второй фазе двухфазной зернистой среды.
Из второго уравнения системы (14) найдем
|
|
(45) |
Подставим (45) в (44) и
учитывая (33), получим дифференциальное уравнение для определения интенсивности
поперечной волны во второй фазе
|
|
(46) |
С учетом 
дифференциальное.
уравнение для определения интенсивности поперечных волн второй фазы запишем в
виде
|
|
(47) |
Интегрируя данное уравнение
и учитывая равенство (35), получим
выражение для определения интенсивности поперечных волн, распространяющихся в
твердой фазе
|
|
(48) |
где
значение интенсивности поперечной волны при
Интенсивность поперечной волн первой
фазы определим из формулы
|
|
(49) |
Тогда интенсивность
поперечной волны запишем в виде
|
|
(50) |
Пример. Рассмотрим волны ускорения, представляющие концентрически расширяющуюся
сферу, радиуса 
Определим
интенсивность волн в процессе их распространения.
Будем считать, что
единичный вектор 
выбран так, что его
направление совпадает с направлением распространения волны. Следовательно, 
вектор внешней нормали к сферическим поверхностям, поэтому
средняя кривизна при 
отрицательна 
, а гауссова кривизна 
. Тогда переменную 
в уравнениях (39) и
(50) можно заменить переменной Подставим значения и 
в выражение (36)
получим
|
|
(51) |
Тогда из уравнений (39) и (50)
находим
|
|
(52) |
Из формулы (52) следует, что
интенсивность 
как продольных так и
поперечных волн монотонно стремится к нулю при
Литература:
1. Biot M.A.
Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid I.
Low-frequency range //J. Acoust. Soc. America. 1956. V. 28. № 2. P.168 -178.
2. Косачевский
Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах //ПММ. 1ы959. Т.
23. Вып. 6. С. 1115 - 1123.
3. Поленов В.С., Чигарев
А.В. Распространение волн в насыщенной жидкостью неоднородной пористой среде
//ПММ. 2010. Т. 74. Вып.2. С. 276– 284.
4. Борисов А.В., Буренин А.А.,
Поленов В.С., Чигарев А.В. Волновая динамика
неоднородных и нелинейных структур с приложением к геомеханике
и биомеханике //Смоленск. Универсум. 2015. 443 с.
5. Поленов В.С. Распространение
упругих волн в насыщенной вязкой жидкостью пористой среде// ПММ. 2014. Т. 78. Вып. 4. С.501-507.
6. Масликова
Т.И. Поленов В.С О распространении нестационарных упругих волн в однородных
пористых средах// Изв. РАН. МТТ. 2005. № 1. С.
104-108.
7. Нигматулин
Р.И. Основы механики гетерогенных сред// М.: Наука, 1978. 336 с.
8. Нигматулин
Р.И. Механика многофазных сред//М.: Наука. ч. 1. 1967. 464с., ч. 2. 1967.
380 с.
9. Томас Т. Пластическое течение и
разрушение в твердых телах// М.: Мир, 1964. 308 с.