Технические науки/10.Горное дело

Каражанов А.А.

Таразский государственный университет имени М.Х.Дулати,

Республика Казахстан

 

МЕТОД ФОРМООБРАЗОВАНИЯ КРИВЫХ 4-ГО ПОРЯДКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ (2-2)-ЗНАЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Г2

 

Данная статья посвящена получению новых кривых 4-го порядка с применением (2-2)-значного геометрического преобразования Г2, когда прообразом является эллипс различного расположения на плоскости.

 

Преобразование эллипса

 

В общем случае преобразование Г2 преобразует эллипс n в кривую 4-го порядка n', уравнение которой может быть определено в следующей последовательности:

 

1)     уравнение (2-2)-значного преобразования Г2  пишется в виде:

 

 ,                                        (1)

где   x,y – координаты точки-прообраза;

         x',y' – координаты точки-образа;

         R – постоянное число, R>0.

2) из системы уравнений (1) можно определить уравнения обратного (2-2)-значного преобразования Г'2 в виде:

 

 ,                                         (2)

где   x,y– координаты точки-прообраза;

        x',y' – координаты точки-образа;

        R – постоянное число R>0.

3) записывается уравнение эллипса n в виде

 

 ,                                      (3)

4) из системы уравнений (2) значения x и y подставив в уравнение (3), получим уравнение образа n' в виде

 

 ,                             (4)

где   x', y' – координаты точек кривой n';

        c, d – параметры прообраза n;

        R – параметр преобразования Г2.

Рассмотрим примеры преобразования эллипса n в различные кривые образы.

Пример 1. На рисунке 1 задан эллипс n9, горизонтальная ось АВ которого инцидентна оси Ох. При этом точка А расположена на граничной кривой ℓ и точка В расположена в начале координат. Точка А отображается в точку А1≡А2 преобразованием Г2. Точка В преобразуется в две точки В1 и В2. Точка Е преобразуется в точки Е1 и Е2. Эллипс n9 преобразуется в две кривые 2-го порядка n9' (рисунок 2).

Пример 2. На рисунке 3 задан эллипс n10, центр которого расположен на оси Ох. Точка В отображается в точку В1≡В2 с использованием  преобразования Г2. Точка С преобразуется в точки С1 и С2. Точка А отображается в точку А1≡А2. Эллипс n10 преобразуется в кривую 2-го порядка n10' (рисунок 3).

Пример 3. На рисунке 4 задан эллипс n11, центр которого расположен в области определения преобразования Г2. Точка В отображается в точку В1≡В2 преобразованием Г2. Точка А преобразуется в точку А1≡А2. Точка С отображается в две точки С1 и С2. Точка D преобразуется в две точки D1 и D2. Точка E отображается в точки Е1 и Е2. Эллипс n11 преобразуется в кривую 4-го порядка n11' (рисунок 5).

Пример 4.  На рисунке 6 задан эллипс n12, который пересекает ось Оy в точках А и В. Точка В отображается в две точки В1 и В2 преобразованием Г2. Точка D преобразуется в точку D1≡ D2. Точка А преобразуется в две точки А1 и А2. Точка K отображается в точки K1 и K2. Эллипс n12 преобразуется в две кривые n12' (рисунок 7).

Пример 5. На рисунке 8 центр эллипса n13 расположен в начале координат. Эллипс n13 преобразуется в две кривые n13' (рисунок 8). При этом точка B отображается в точки В1 и В2, точка С – в точки С1 и С2, точка D – в точки D1 и D2.

Пример 6. На рисунке 9 задан эллипс n14, большая ось АD которого расположен на оси Оx. Точка В преобразуется в точки В1 и В2, точка С – в точки С1 и С2, точка А - в точку А1≡А2, точка D – в точку D1≡D2. Эллипс n14 преобразуется в две кривые n14' (рисунок 10).

Пример 7. На рисунке 11 заданный эллипс n15 касается с осью Оy. Точка В преобразуется в точки В1 и В2, точка С – в точки С1 и С2, точка А - в точки А1 и А2, точка D – в точки D1 и D2. Эллипс n15 преобразуется в две кривые n15' (рисунок 12).

   Примеры, рассмотренные выше, показывают как изменяется форма кривой-образа в зависимости от расположения эллипса на плоскости и от его размеров. Преобразование кривых второго порядков с использованием преобразования Г2 позволило получить новые кривые 4-го порядка, что расширяет существующие границы знаний о теории плоских кривых.

 

 

1

Рисунок 1 - Задание

прообраза n9

 

1

Рисунок 2 - Полученный образ n9’

 

 

1

 

Рисунок 3 - Преобразование прообраза n10

 

 

1

 

Рисунок 4 - Задание прообраза n11

 

 

 

1

 

Рисунок 5 - Полученный образ n11’

 

 

 

1

Рисунок 6 - Задание прообраза n12

 

 

 

1

Рисунок 7 - Полученный образ n12’

 

 

 

1

Рисунок 8 - Преобразование прообраза n13

 

 

1

Рисунок 9 - Задание прообраза n14

 

 

1

 

Рисунок 10 - Полученный образ n14’

 

 

1

 

Рисунок 11 - Задание прообраза n15

 

 

1

 

Рисунок 12 - Полученный образ n15’

 

 

 

 

Литература

 

1 Ермаков А.В. Кремоновы преобразования пространства в конструиро-вании рациональных каркасных поверхностей: автореф. ...канд.техн.наук:. 05.01.01. – М.: МТИПП, 1977. – 17 с.

2 Завьялов Ю.С.,Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. - М.: Машиностроение, 1985. – 222 с.

3 Конакбаев К.К. Конструирование обводов из дуг уникурсальных циркулярных кривых посредством кремоновых инволюций. автореф. ...канд.техн.наук:.05.150. – М.: МТИПП, 1972. – 18 с.

4 Котов И.И. Алгоритмы конструирования каркасных поверхностей. – М.: МАИ, 1975.

5 Манеевич В.А. К теории многозначных точечных соответствий // Труды МИИТ: Вопросы дифференциальной, синтетической прикладной геометрии. – М.: 1965, №190. – С.158-160.

6 Фролов С.А. Методы преобразования ортогональных проекций. – М.: Машиностроение, 1970. – 160 с.