Н.А. Бугрова, Н.И. Лапин

Устойчивое удержание диамагнитного шара в поле системы круговых токов

Нижегородский государственный педагогический университет

Диамагнетизм был открыт Майклом Фарадеем в 1846 г. Диамагнетизмом обладает большинство веществ, окружающих нас, такие как вода, дерево, пластик, сыр, ацетон, графит и т.д., а также живые существа. Основная особенность диамагнитных тел состоит в том, что их магнитная проницаемость меньше единицы и поэтому в магнитном поле они перемещаются в направлении уменьшения напряженности магнитного поля, т.е. выталкиваются из поля. Это свойство диамагнетиков позволяет создать свободный подвес диамагнитных тел в постоянном магнитном поле, т.е. скомпенсировать гравитационную силу так, что диамагнитное тело может устойчиво висеть в поле тяжести без контакта. В состоянии левитации сила тяжести компенсируется силой со стороны магнитного поля. Из равенства двух сил находятся координаты состояния равновесия. Устойчивость состояния равновесия определяется согласно теореме Лагранжа [4], следуя которой, потенциальная энергия в состоянии равновесия должна иметь изолированный минимум. Требование минимума выполняется при условии положительной определенности матриц вторых производных функции потенциальной энергии в состоянии равновесия.

Для этого рассмотрим случай: удержание диамагнитного шара в поле системы двух круговых токов, обладающих осевой симметрией.

Рассмотрим шар в магнитном поле. Введем две системы координат: OXYZ, связанная с источниками магнитного поля, О – центр этой системы и oxyz с началом в центре масс тела o и параллельная OXYZ.

Рис.1

Обозначим через – радиус–вектор некоторой точки в системе координат OXYZ , а через – радиус вектор той же точки в системе координат oxyz. Пусть – вектор смещения центра масс тела относительно системы координат, связанной с источником поля, тогда .

Потенциал внешнего поля в окрестности начала координат системы OXYZ равен , а в системе координат oxyz в окрестности точки o , где – шаровая функция, –сферическая функция (функция направления единичного вектора ), определяемая без множителя . Так как потенциалы описывают одну и ту же функцию в разных системах координат, то в некоторой точке : . Величины являются функциями от коэффициентов разложения внешнего поля и вектора – смещения тела относительно центра подвеса. Выражение в круглых скобках здесь и в дальнейшем представляет собой скалярные произведения двух неприводимых тензоров определяемых по правилу [1].

Полная магнитная энергия тела в неоднородном поле определяется интегралом [2] , где интеграл берется по объему тела, – вектор намагниченности, наведенный полем в теле, - индукция магнитного поля, которая была до внесения тела. Полная сила, действующая на тело в магнитном поле (в пустоте), выражается .

Намагниченность в линейных средах пропорциональна полному полю , , где – магнитная восприимчивость. Для диамагнитных тел и очень мала. В силу малости магнитной восприимчивости можно в первом приближении пренебречь искажением поля, вызываемым наличием тела и считать, что намагниченность пропорциональна внешнему магнитному полю , которое было до внесения тела. Тогда выражение для энергии и силы перепишутся в виде: , .

Поле системы токов в окрестности оси симметрии находится по известному скалярному потенциалу поля на оси [3]. В цилиндрической системе координат скалярный потенциал равен , где скалярный потенциал поля на оси. Здесь - величина, характеризующая положение центра шара относительно начала координат системы OXYZ, а – расстояние до центра шара относительно центра О, – в зависимости от направления тока в катушках противонаправленные и однонаправленные соответственно, -расстояние между витками.

Учитывая что , где – шаровой вектор. Напряженность магнитного поля . После ряда преобразований квадрат индукции магнитного поля , где - коэффициент Клебша–Гордана [1]. Следовательно энергия произвольного по форме и размеру диамагнитного тела в магнитном поле . Отсюда следует, что вычисление потенциальной энергии в общем случае сводится к вычислению объемного интеграла при заданной форме тела. Для шара радиуса b и , где - символ Кронекера.

Для осуществления устойчивого состояния равновесия необходимо выполнение следующих условий: минимум потенциальной энергии в области устойчивости. Требование минимума выполняется при условии положительной определенности матриц вторых производных функции потенциальной энергии в состоянии равновесия . Состояние равновесия находится из условия равенства нулю суммы сил действующих на тело. Конфигурация поля образованная двумя круговыми токами приводится на рис.2

Рис.2 (а-разнонаправленные, b-однонаправленные токи)

Условие положительной определенности матриц вторых производных функции потенциальной энергии используется для нахождения области устойчивости. На рис.3 представлены области устойчивости для шара в поле, образованным двумя витками для однонаправленных и разнонаправленных токов.

Рис.3 (Жирным выделена область устойчивости)

Размеры области устойчивости зависят от направления токов. При однонаправленном включении область мала и сосредоточена вблизи витка. В случае разнонаправленного включения токов область устойчивости обширна. Как видно из рисунков, возможно равножесткое удержание диамагнитного шара.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 08-01-00333а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Варшалович Д.А. Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. М.: Наука, 1975. 436 с.

[2] Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Электродинамика сплошных сред. Т 8. М.: Наука, 1982. 623 с.

[3] Смайт В. Электростатика и электродинамика. ИЛ, М. 1954. 604 с.

[4] Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 305 с.