Ленюк М.П.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-(Конторовича-Лєбєдєва) на полярній вісі

 

         Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого на множині  = {r: r Î (0, R1)  (R1, ¥)} розв’язку системи диференціальних рівнянь Ейлера й (Конторовича-Лєбєдєва) для модифікованих функцій

                                , r Î (0, R1),                               

                                , r Î (R1, ¥)                                   (1)

за умовами спряження

            , j = 1, 2.               (2)

          У рівностях (1), (2) беруть участь величини qj > 0,  ³ 0,  ³ 0,  cj1 = , c11c21 > 0, j = 1, 2 та диференціальний оператор Ейлера  [1] й (Конторовича-Лєбєдєва) , 2aj + 1 ³ 0, l Î (0, ¥) [2].

          Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Ейлера   утворюють функції v1 = r–(a + q) та v2 = r –a + q) [1]. Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння (Конторовича-Лєбєдєва) (Ba – q2)v = 0 утворюють функції v1 = Iq, a(lr) та v2 = Kq, a(lr) [2], де In, a(lr) º (lr)–aIn(lr),
Kn, a(lr) = (lr)–aKn(lr); In(x) – модифікована функція Бесселя І-го роду, а Kn(x) – модифікована функція Бесселя 2-го роду [3].

          Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати розв’язок крайової задачі (1), (2) методом функцій Коші [1, 4]:

                           ,                                 

                       .                          (3)

          У рівностях (3) Ej(r, r) – функції Коші:

                                                                           

                          .                             (4)

          Припустимо, що функція Коші

          Властивості (4) функції Коші для визначення величин C1, C2 та D2 дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

                                    ,                                          

                   .                      (5)

          Звідси знаходимо співвідношення:

                              , D2 = .                                (6)

          Доповнимо співвідношення (6) рівнянням:

                       , .                          (7)

          Із системи (6), (7) знаходимо, що

.

          Цим функція Коші E1(r, r) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:

                                       (8)

          У рівностях (7), (8) беруть участь функції

,

,

, j = 1, 2.

          Припустимо, що функція Коші

          Властивості (4) для визначення величин C1, D1, D2 дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

                             ,                                   

                       .                                  Звідси знаходимо співвідношення:

                        , .                           (9)

          Доповнимо систему (9) рівнянням:

          , .            (10)

          Із системи (9), (10) знаходимо, що

.

          Цим функція Коші E2(r, r) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:

              (11)

          У формулах (10), (11) беруть участь функції:

,

,

, j = 1, 2.

          Повернемось до формул (3). Умови спряження (2) для визначення величин A1, B2 дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

                                ,

                           .                             (12)

          У системі (12) бере участь функція

G12 =  + .

          Припустимо, що визначник алгебраїчної системи (12)

               .                (13)

          Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1), (2):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

, ;           (14)

2) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

, (a) = (a1, a2),                                (15)

, q = (q1, q2),                                           

          У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (12) в силу умови (13), підстановки обчислених величин A1, B2 у формули (3) та низки елементарних перетворень одержуємо єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2):

          uj(r) =  +

                                  + .                                   (16)

          Побудуємо розв’язок крайової задачі (1), (2) методом гібридного інтегрального перетворення Ейлера-(Конторовича-Лєбєдєва), породженого на множині  гібридним диференціальним оператором (ГДО)

                              ,                               (17)

де q(x) – одинична функція Гевісайда.

          Визначимо величини та функції:

s1 = 1, , bj(b) = (b 2 + )1/2,  ³ 0, j = 1, 2;

          ,

          ,

          ,

          , j = 1, 2,

          ,

          , (a) = (a1, a2).

          Нагадаємо, що фундаментальну систему розв’язків для рівняння  утворюють функції  та  [1], а для рівняння  – функції  та  [2].

          Наявність спектральної функції ГДО

V(a)(r, b) = q(r)q(R1 – r)V(a); 1(r, b) + q(r – R1)V(a); 2(r, b),

спектральної густини

W(a)(b) = b[b1(b)]–1([w(a),1(b)]2 + [w(a),2(b)]2)–1

та вагової функції

s(a)(r) = q(r)q(R1 – r)s 1 + q(r – R1)s 2

дозволяє запровадити пряме H(a);1 та  гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині  ГДО  [5]:

                         ,                          (18)

                      ,                       (19)

             –                   

      ,  (20)

                             .

          Припустимо, що max{; } =  > 0. Покладемо ,  ³ 0.

          Застосувавши за відомою логічною схемою [5] запроваджене формулами (18) – (20) гібридне інтегральне перетворення, після низки елементарних перетворень отримаємо єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2):

           +

             +

                     

                    , j = 1, 2.                     (21)

          Порівнюючи розв’язки (16) та (21) в силу єдиності, одержуємо такі формули обчислення невласних інтегралів за власними елементами ГДО :

=; j, k = 1, 2, (22)

     =; j = 1, 2, (23)

          =.       (24)

          Підсумком викладеного вище є твердження..

          Теорема. Якщо вектор-функція f(r) = {} неперервна на множин , а функції gj(r) задовольняють умови спряження (2), умови обмеження в точках r = 0 та r = ¥ й виконується умова (13) однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2), то мають місце формули (22) – (24) обчислення невласних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (17).

          Зауваження 1. Якщо б max{; } =  > 0, то  ³ 0, . У цьому випадку замість  треба писати .

          Зауваження 2. Оскільки функції  та  не залежать від нерівності  ³ 0 (або нерівності   ³ 0), то можна покласти  (), звужуючи при цьому сім’ю невласних поліпараметричних інтегралів.

 

1.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2.     Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва – Чернівці: Прут, 2002. – 280 с.

3.     Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с.

4.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

5.     Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004. – 368 с.