Ленюк М. П.

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

ГІБРИДНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є – ЕЙЛЕРА – БЕССЕЛЯ НА ДЕКАРТОВІЙ ОСІ

Запровадимо інтегральні перетворення, породжене на множині

гібридним диференціальним оператором (ГДО).

(1)

У рівності (1) - одинична функція Гевісайда [1]; - диференціальний оператор Фур’є [2]; [2], [3] відповідно диференціальні оператори Ейлера та Бесселя; .

Означення. Областю визначення ГДО назвемо множину вектор-функцій з такими властивостями: 1) існують такі числа та , що мають місце рівності

(2)

2) функції задовольняють умови спряження

(3)

Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти:

Оскільки ГДО самоспряжений і має дві особливі точки та , то його спектр дійсний та неперервний [4]. Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає комплекснозначна спектральна вектор-функція

(4)

При цьому функції

де , повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

(5)

та умови спряження (3);

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є утворюють функції та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [2], фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють функції Бесселя першого роду та другого роду [3].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє відшукувати функції за правилами [2]

(6)

Умови спряження (3) дають вісім алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих 12-ть невідомих).

Отже, методом спектральної задачі Штурма-Ліувілля функції побудувати не можна. Скористаємось методом дельта-подібної послідовності – ядро Коші як фундаментальна матриця розв’язків задачі Коші для сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу, породженої ГДО

Побудуємо обмежений в області розв’язок системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [5]

(7)

за початковими умовами

(8)

та умовами спряження

(9)

Припустимо, що вектор-функція є оригіналом за Лапласом стосовно [6]. В зображеннях за Лапласом задачі (7) – (9) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на множині розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Фур’є, Ейлера та Бесселя другого порядку для модифікованих функцій

10)

за умовами спряження

(11)

У рівностях (10) прийняті позначення: , ,

В подальшому зафіксуємо ту вітку двозначної функції , на якій .

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є утворюють функції та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [2]; фундаментальну систему розв’язків для модифікованого диференціального рівняння Бесселя утворюють модифіковані функції Бесселя першого роду та другого роду [3].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість будувати розв’язок крайової задачі (10), (11) методом функцій Коші [1,2]:

(12)

У рівностях (12) - функції Коші:

(13)

(14)

(15)

У рівностях (13) – (15) беруть участь функції:

Умови спряження (11) для визначення величин дають алгебраїчну систему:

(16)

У системі (16) прийнято, що

,

( - символ Кронекера).

Введемо до розгляду функції:

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язаності крайової задачі (10), (11): для з , де - абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та визначник алгебраїчної системи (16)

(17)

Визначимо функції впливу крайової задачі (10), (11), породжені неоднорідністю системи (10):

(18)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (16) та підстановки одержаних значень величин у рівності (12) одержуємо єдиний розв’язок крайової задачі (10) , (11):

(19)

Повертаючись в рівностях (19) до оригіналу, маємо єдиний розв’язок параболічної задачі (7) – (9) :

(20)

У рівностях (20) за означенням [6]

(21)

Особливими точками функцій є точки галуження та . Нехай . Покладемо . Тоді при маємо: Звідси випливає, що

Якщо скористатись методом контурного інтеграла, лемою Жордана й теоремою Коші [6], то формули (21) можна перетворити до розрахункових:

(22)

Тут означає уявну частину від виразу .

Оскільки , то знаходимо такі залежності:

На підставі формул обходу [7]

знаходимо співвідношення:

.

Тут беруть участь функції:

,

,

,

.

.

На основі цих співвідношень одержуємо безпосередньо рівності

;

, ;

, .

Наведемо ще необхідні в подальшому залежності:

Згідно розрахункової формули (22) знаходимо:

Вимагаємо виконання рівностей:

(23)

Тут риска зверху означає комплексне спряження, а означає дійсну частину виразу , функції визначені формулами (6).

Одержуємо стосовно 12-ти невідомих алгебраїчну систему із 11-ти рівнянь:

(24)

Із алгебраїчної системи (24) при знаходимо, що

Підставивши визначені величини та у рівності (6), маємо структуру функцій

З цим комплексно значна вектор-функція визначена.

Введемо до розгляду вагову функцію

Згідно формул (20) розв’язок параболічної задачі (7) – (9) набуває інтегрального зображення:

(25)

Із рівностей (25) в силу початкових умов отримуємо інтегральні зображення функцій :

(26)

(27)

(28)

Формули (26) – (28) визначають інтегральне зображення вектор-функції з області визначення ГДО :

(29)

Інтегральне зображення (29) визначає пряме та обернене гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на множині ГДО , визначеним рівністю (1) [8]:

, (30)

(31)

В основі застосування запровадженого формулами (30), (31) ГІП знаходиться основна тотожність інтегрального перетворення ГДО .

Теорема (про основну тотожність). Якщо вектор-функція неперервна на множині , а функції задовольняють умови обмеженості

та умови спряження

,

то має місце основна тотожність ГІП ГДО :

(32)

У рівності (32) прийняті позначення:

Застосування запровадженого в даній статті гібридного інтегрального перетворення Фурє – Ейлера – Бесселя на декартовій осі до відповідних задач математичної фізики неоднорідних середовищ подамо в іншій роботі.

Література:

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965.-328с.

2.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.:Физматгиз, 1959.-468с.

3.Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

4. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина1.- Тернопіль: Економ.думка, 2004.-368с.

5. Тихонов А.Н., Самарський А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735с.

6. Лавренеьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688с.

7. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108с.

8. Ленюк М.П. Гібридні інтегральні перетворення типу Ейлера – (Фур’є, Бесселя).- Чернівці: Прут, 2009.-76с.