ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ ЭФФЕКТИВНОГО ШАГА  ОБРАБОТКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Математика 3.

Цветков В.Н., Гейда Е.Г., Алхимова В.М., Мищенко Н.В., Сердюк М.Е.

Днепропетровский национальный университет

ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ ЭФФЕКТИВНОГО ШАГА ОБРАБОТКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Если реализации , регистрируемые на интервале являются суммой измеряемого стационарного случайного процесса с корреляционной функцией и случайного процесса погрешностей измерений, представляющего собою белый шум, то континуальная оценка математического ожидания процесса, полученная методом максимального правдоподобия, имеет вид среднеинтегральной оценки

(1)

Аналогично при обработке случайных последовательностей, наложенных на этот процесс, приходим к среднеарифметической оценке

(2)

Относительно оценок (1) и (2) справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть имеется сепарабельный стационарный финитный случайный процесс с заданной корреляционной функцией . Тогда при оценке математического ожидания этого процесса для всех сочетаний знаков величин

кроме и на интервале существует шаг дискретизации , обеспечивающий меньшую дисперсию дискретной оценки по сравнению с континуальной .

Доказательство.

Дисперсии оценок (1) и (2) соответственно имеют вид

(3)

и , (4)

где – дисперсия случайного процесса.

Изменение дисперсии оценки математического ожидания случайного процесса при переходе от дискретной обработки к непрерывной характеризуется разностью дисперсий оценок и

(5)

и согласно [1]

(6)

Разложим правую часть (6) в ряд Тейлора по степеням до квадратичных членов включительно, для чего достаточно применить его только к первому

и второму

слагаемым, так как третье слагаемое (6) от не зависит. При этом

Поэтому

откуда после приведения подобных и ввода обозначений

имеем

Отсюда учитывая, что в зависимости от шага и знаков величин и величина

получаем, что шаг , обеспечивающий меньшую дисперсию дискретной оценки по сравнению с континуальной , существует при всех сочетаниях знаков величин и , кроме и .

ЛИТЕРАТУРА

1. Цветков В.Н., Гейда Е.Г., Мищенко Н.В., Алхимова В.М. О связи дисперсий неоптимальных оценок математического ожидания случайных процессов.// Наукова думка інформаційного віку – 2007. Тезисы докл. МНПК.– К., 2007.– Т. 3.– С.5-7.