Економічні науки/ 8. Математичні методи в економіці

Сулім І.С.

Буковинська державна фінансова академія

Науковий керівник - асистент Настасій О.Б.

Теорія одноресурсної фірми

Припустимо, що фірма виробляє один вид продукції в кількості у, для чого використовується лише один ресурс х. Фірма цілком характеризується своєю виробничою функцією , що виражає залежність обсягу продукції, що випускається, від обсягу витраченого ресурсу х.

Далі вважатимемо, що виробнича функція двічі диференційована і задовольняє дві умови.

Умова 1. В області D, , визначення функції , яку називатимемо економічною областю D, дана функція не спадна, тобто збільшення обсягу ресурсу не спричинює зменшення обсягу продукції.

Математично це означає, що для двох довільних точок таких, що , виконується нерівність

Отже, в області D похідна невід’ємна, тобто Похідну називають граничним продуктом.

Умова 2. Існує підмножина Е економічної області D така, що для всіх

Зупинимося на економічному змісті цих двох умов. Умова 1 стверджує, що виробнича функція – не якась абстрактна, вигадана математиком-теоретиком. Вона відображає економічно важливе і водночас тривіальне твердження: в розумній економіці збільшення витрат ресурсу не може спричинити зменшення випуску продукції.

Умову 2 в економіці називають законом спадної доходності: зі збільшенням обсягу ресурсу з деякого моменту (при вході в область Е) починає зменшуватися граничний продукт.

Розглянемо дії фірми. Нехай р – ціна одиниці ресурсу, а w – ціна одиниці продукції, що випускається. Отже, прибуток фірми є функцією від обсягу ресурсу х (і цін, але вони вважаються сталими).

Тоді

Розглянемо задачу фірми: потрібно знайти максимальне значення прибутку – функції за умови, що тобто

(1)

Обчислимо похідну функції та прирівняємо її до нуля:

звідки

(2)

Очевидно, що обсяг ресурсу додатний, а отже точка , що задається формулою (2), є точкою екстремуму. Оскільки ми припустили, що то це точка максимуму.

Точку , яка визначається з співвідношення (2), називають оптимальним розв’язком задачі фірми.

Розглянемо економічний зміст співвідношення (2). Нагадаємо, що − граничний продукт, а − це вартість граничного продукту, додатково виробленого з одиниці ресурсу. Але вартість одиниці ресурсу дорівнює р, тобто дістаємо рівновагу: можна залучити у виробництво одиницю ресурсу, витративши на її закупівлю р грош. од., але в результаті виграшу не буде, оскільки після переробки ресурсу і реалізації продукції одержимо стільки ж грошей, скільки витратили на придбання одиниці ресурсу. Отже, оптимальна точка, що задається співвідношенням (2), є точкою рівноваги: вже неможливо отримати з ресурсів більше, ніж витрачено на їх закупівлю.

Очевидно, нарощування випуску продукції фірмою відбувалося поступово: спочатку вартість граничного продукту була вищою за закупівельну ціну ресурсів, що потрібні для його виробництва. Нарощування обсягу виробництва триває доти, доки починає виконуватися співвідношення (2); рівність вартості граничного продукту та закупівельні ціни ресурсу, потрібного для його виробництва.

За певних умов, накладених на виробничу функцію, оптимальний розв’язок задачі фірми, що визначається співвідношенням (2), єдиний для всіх р і w.

Література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. − К.:ЦУЛ, 2002. – С.274-278.

2.   Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. − М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. − 368 с.

3.   Ключин В.Л. Высшая математика для экономистов: Учеб. Пособие. − М.: ИНФРА-М, 2009. − 448 с.