Математика/4.Прикладная математика

Рябоштан А.Ф., Миленин А.Н.

Харьковский национальный технический университет

сельского хозяйства им. П. Василенко

Конструирование поверхностей лопаток газовых турбин из множества огибаемых по заданным условиям

 

Пусть задано множество поверхностей

,                                          (1)

Поверхность, отвечающая заданным начальным условиям, конструируется наложением  связей на параметры и проведением огибающей полученного  поверхностей.

В качестве начальных условий (геометрических элементов и дифференциальных условий) будем рассматривать:

- кривую (поверхность должна быть ей инцидентной);

- поверхность (искомая поверхность должна быть ей касательной);

- линейную полосу (поверхность должна быть инцидентной кривой-носителю полосы, а нормали оснащения должны быть нормалями поверхности);

-полосу II порядка (кроме удовлетворения требований предыдущего пункта должны совпадать вторые частные производные полосы и поверхности).

При задании начальных условий в виде кривой

,     ,                                            (2)

Необходимо выполнить два условия. Условие инцидентности требует, чтобы уравнения (2) удовлетворяли (1), т.е.

=0,                                                     (3)

С другой стороны, касательные к кривой (2) должны быть перпендикулярны нормалям поверхности (1)

,                                                 (4)

где , ,  - частные производные функции , вычисленные при условии (2). , ,  - производные функции по . Уравнение (4) равносильно дифференцированию (3) по параметру , т.е. . Для получения поверхности из  - параметрического множества (1) нужно из уравнений (3) и (4) исключить параметр и определить уравнение связи в виде

,                                                                (5)

так что  кривая дает  уравнений вида (5), из которых находится зависимость  параметров от одного и определяется огибающая.

Если в качестве начальных условий задана поверхность

,                                                             (6)

которой должна касаться искомая поверхность, то для получения уравнения связи между параметрами необходимо исходить из условия совпадения координат нормалей поверхностей (1) и (6) вдоль линии касания, т.е.                                                 ,                                                    (7)

где и  - координаты вектора нормали.

Согласно схеме Монжа из уравнений (1), (6) и (7) исключим координаты , ,  точки касания. Получим

.                                                            (8)

Нетрудно видеть, что поверхность из множества (1) можно получить при условии касания к  поверхности, что дает  уравнение (8) между  параметрами. Как и прежде, находим зависимость  параметра от одного, например, , подставляем их в (1) и определяем огибающую..

Пусть начальные условия заданы в виде линейной полосы, например, кривой (2), в каждой точке которой задана нормаль к искомой поверхности.

, ,                                                 (9)

где  и  удовлетворяют уравнению линейной полосы

.                                            (10)

Линейная полоса принадлежит поверхности, если ее кривая – носитель принадлежит поверхности, что дает уравнение (3), а нормалями поверхности, т.е.

, .                                                 (11)

Таким образом, каждая оснащенная кривая дает 3 уравнения связи между параметрами и для получения поверхности из  - параметрического множества (1) нужно иметь  линейных полос, что возможно при нечетных .

Например. При помощи множества

                                               (12)

Получить поверхность, инцидентную полосе

, , .                                              (13)

Решение.

1. Условие инцидентности кривой  искомой поверхности

                                             (14)

2. Совпадение координат нормалей

, ,                                               (15)

, .                                               (16)

3. Из (14), (15) и (16)

.                                                             (17)

4. Уравнение (12) с учетом (15), (16) и (17) имеет вид

.                                                  (18)

5. Однопараметрическое множество (18) полностью удовлетворяет условиями существования огибающей. Поэтому, дифференцируя (18) по  и, исключая из полученного уравнения и (18) параметр , имеем окончательное уравнение искомой поверхности

                                          (19)

Заметим, что задание начальных условий в виде линейной полосы может быть сформулировано несколько иначе: при помощи множества (1) сконструировать поверхность, касающуюся поверхности  по линии

,                                                    (20)

В этом случае необходимо кривую (20) перезадать в параметрической форме (2), а координаты нормалей вдоль кривой определить при помощи поверхности .

Пусть начальные условия заданы полосой II порядка, т.е. кривой (2), оснащенной нормалями (9) и вторыми частными производными

, ,                                                 (21)

удовлетворяющими уравнениям полосы второго порядка

, .                                          (22)

Для получения поверхности из множества (1) при помощи полосы II порядка необходимо инцидентности полосы I порядка, что дает уравнения  и , выполнение дифференциальных условий II. Это значит, что из уравнения (4) при условии (2), (9) и (21) нужно исключить параметр  при помощи одного из уравнений (4) или (11) получим .

Как видим, задание полосы II порядка позволяет составить 3 уравнения связи параметров ,  , так что для получения поверхности из множества (1) нужно задать  полос II порядка, что возможно при значениях

,                                                (23)

Аналогично можно в качестве начальных условий задать полосу III порядка, но особой необходимости в этом нет, так как практически второй порядок гладкости является для большинства задач достаточным.

Заметим, что уравнения (11) являются интегральными уравнениями (4), а уравнение (1) является интегральной поверхностью (точнее, их множеством) как к (11), так и к (4), так что выполнение заданных дифференциальных условий при решении по изложенной методике гарантируется.