Математика/4. Прикладная математика

УДК 537.8:536.5:539.143.43

Костырин Е.В.

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Россия

Моделирование температурных полей в рабочей зоне магнитно-резонансного томографа c целью уменьшения неоднородности магнитного поля

В условиях модернизации российской экономики отечественные предприятия стремятся производить магнитно-резонансные томографы (МРТ), соответствующие мировым стандартам качества. При этом они сталкиваются с проблемой создания высокой однородности магнитного поля в рабочей области МРТ, поскольку от нее зависит качество томограммы и, следовательно, вероятность постановки верного диагноза. Так, в томографах для артрологии итальянской фирмы Esaote задается максимально допустимое отклонение индукции магнитного поля в рабочей зоне от заданного значения ±30 ppm (±3·10^-5 Тл). Известно, что магнитные материалы очень чувствительны к температуре. Так, температурный коэффициент магнитной индукции используемого в томографах материала NdFeB изменяется от 0,07 до 0,13%/⁰С. Опыт показывает, что при использовании магнита NdFeB нужно поддерживать его температуру с точностью не хуже 0,2°C.

Цель работы – моделирование тепловых потоков в магните магнитно-резонансного томографа. Адекватное описание механизмов разогрева магнита и распределения температуры внутри него позволит точнее контролировать температуру, выбирать наиболее информативные точки для установки температурных датчиков и наиболее удачные места для локального прогрева. Это позволит существенно снизить неоднородность поля и, тем самым, улучшить качество изображения.

Магнит имеет форму диска. Задача исследования – разработать такую математическую модель, которая опишет распределение температуры в магните. Его подогрев осуществляется нагревательными резисторами, которые входят в систему термостабилизации.

Таким образом, проблема поддержания температурного режима сводится к задаче распространения тепла в цилиндре конечных размеров [3], а именно:

(1)

В качестве граничных условий примем нулевое значение температуры на поверхности магнита

, (2)

а начальное условие определяется функцией φ (единичное возмущение в центре)

. (3)

Здесь a – коэффициент температуропроводности, 2h – высота цилиндра, R – радиус, а функция f(r,θ,z,t) описывает влияние тепловых источников.

Решение такой задачи (с учетом теплового потенциала [1]) имеет
вид:

(4)

где коэффициенты A_kmn и B_kmn определяются следующим образом:

(5)

Разработанный математический аппарат позволил исследовать распределение температуры в магните МРТ «Ренекс», выпускаемого ООО «С.П.Гелпик» (Россия). Используя предложенный инструментарий, в результате моделирования в программных средах LabView и AnSys были получены следующие результаты:

1. Температура максимальна в центре магнита и уменьшается к краям в радиальном направлении. При этом градиент температуры составляет менее 1% по отношению к центру на протяжении почти 4/5 радиуса, затем имеет место существенный спад. Для того чтобы магнитно-резонансное изображение имело приемлемое качество, рекомендуется ограничить диаметр рабочей области значением 4/5 радиуса магнита. Это сделано в томографе «Ренекс», где диаметр магнита превышает диаметр рабочей области в 3 раза.

2. При заданной радиальной геометрии имеется значительный градиент температуры в продольном направлении. Следовательно, продольная термостабилизация требует внимания при разработке конструкции томографа.

3. Моделирование показало, что если нагревательные резисторы расположить непосредственно на поверхность основного магнита МРТ «Ренекс», то на противоположной поверхности появится температурный градиент 0,4°С. Такой градиент неприемлем, поскольку приводит к неоднородности магнитного поля в рабочей области томографа, равной 400 ppm (максимально допустимое отклонение 30 ppm). Отсюда вытекает необходимость введения в томограф конструктивного элемента, который бы позволил уменьшить неоднородность. Таким элементом является несущее стальное ярмо.

4. Однако, из результатов расчетов на базе предложенного математического инструментария следует, что даже несущее стальное ярмо, на которое крепятся основные магниты МРТ «Ренекс», не позволяет полностью устранить неоднородность магнитного поля. В этом случае появляется продольный градиент, который составляет 200 ppm, что в семь раз больше величины, указанной в паспорте на томограф Esaote. Отсюда вытекает важность температурного контроля для магнита и правильного выбора положения температурных датчиков, не допускающих подобных градиентов.

5. В результате исследования распределения температурных полей в рабочей зоне МРТ «Ренекс» были разработаны рекомендации ООО «С.П.Гелпик» по модернизации системы термостабилизации МРТ «Ренекс». В частности, рекомендуется создать полевой регулятор температуры с независимым нагреванием резисторами в радиальных направлениях. Резисторы не следует устанавливать непосредственно на магнит. Температурные датчики, напротив, желательно расположить как можно ближе к поверхности магнита, обращенной к пациенту. Конструкция томографа позволяет установить необходимое количество датчиков между стальным ярмом и задней поверхностью магнита.

Литература:

1. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. – М.: Физматлит, 2000.

2. Кифер П.И., Пантюшин В.С. Испытания ферромагнитных материалов (магнитные измерения). – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1955.

3. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. – М.: Высшая школа, 1970.

4. Февралева Н.Е. Магнитнотвердые материалы и постоянные магниты. Справочник. – Киев: Наукова думка, 1969.

5. Физика визуализации изображений в медицине / под ред. С. Уэбба. –
Том 2. – М.: Мир, 1991.