Зверев О.М., Зеленина В.Г., Гордевич Е.В., Федотова О.С.

Пермский государственный технический университет

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Современные инженеры-конструкторы должны быть высококвалифицированными, иметь глубокие знания в теоретической физике, уметь поставить эксперименты и построить математические модели физических процессов. В Пермском государственном техническом университете при обучении инженеров существенная роль отводится связи экспериментальных дисциплин, например физики, с теоретическими, например математическое моделирование. Данная связь позволяет показать студентам возможность применения численных методов, математических теорий при обработке результатов экспериментов. Одна из таких работ представлена в этой статье.

1. Получение результатов опытов «Изучение свободных колебаний пружинного маятника»

Установка - пружинный маятник с набором грузов и шкалой, секундомер, сосуд с водой (рис.1).

Рис.1. Экспериментальная установка

Пружинный маятник, посредством опускания груза вниз, выводят из положения равновесия и отпускают. Под действием сил тяжести и упругости пружины маятник совершает гармонические колебания, с периодом Т, который вычисляется по формуле

,

где t_n - время N полных колебаний.

Значение амплитуды колебаний А отсчитывается непосредственно по шкале измерительной линейки, как разность начального x₀ (равновесного) положения груза и максимального отклонения груза от положения равновесия

.

По полученным данным вычислены: . Для проверки воспроизводимости эксперимента опыт проведен 3 раза.

Таблица 1

2. Построение уравнения регрессии с использованием электронных таблиц Microsoft Excel. Метод наименьших квадратов.

Очень часто зависимость одной величины от другой y = f(x) устанавливается экспериментально, представляется графически. Однако, из-за разброса точек кривую (прямую), являющуюся графиком, можно провести множеством способов. Оказывается, наилучшее приближение к истинной зависимости y = f(x) дает кривая (прямая), построенная с помощью метода наименьших квадратов (МНК). А это важно, так как график часто является источником дополнительной информации.

Кроме того, иногда МНК дает возможность непосредственно (без построения графика) вычислить с большой точностью те или иные физические величины, которые являются неудобными для измерения.

Основываясь на априорной информации, было принято решение описать исследуемый процесс уравнением регрессии первого порядка

y – x_к максимальное отклонение груза от положения равновесия, м

x – вес груза Dm, кг

В основу планирования положено ортогональное планирование на трёх уровнях [1]. Результаты испытаний при трех параллельных опытах в натуральных и кодированных значениях факторов приведены на рис.2.

рис.2

Воспроизводимость эксперимента проводится по критерию Кохрена.

G_{Кох.теор} = 0,93 > G_Кох.оп = 0,333333333

Так как значение опытного критерия Кохрена меньше теоретического, гипотеза о равноточности измерений функции отклика подтверждается.

Коэффициенты уравнения регрессии найдены методом наименьших квадратов (рис. 3). Точность приближения оценивается по величине среднеквадратичного отклонения:

рис.3

рис.4

Получено уравнение регрессии y=0,001+0.263x

Проверка значимости коэффициентов уравнения по критерию Стьюдента показала, что коэффициенты a и b являются значимы.

Проверка гипотезы об адекватности ММ (критерий Фишера) – это поиск ответа на вопрос, можно ли полученную ММ использовать для описания исследуемого процесса или необходима более сложная ММ.

Опытное значение критерия Фишера принимается сравнивается с теоретическим - полученная модель адекватна.

Литература:

1. Бродский, Вячеслав Зиновьевич. Введение в факторное планирование эксперимента / В.З.Бродский .— М. : Наука, 1976 .— 223 с. : ил