Зеленина В.Г., Зверев О.М., Козлова Е., Асерин Е.

Пермский государственный технический университет

Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса

Современные условия конкуренции требуют от инженеров творческого подхода к решению прикладных задач. Для успешного продвижения работника на рынке труда он должен быть высококвалифицированным, креативным, уметь применять знания, полученные в процессе обучения на практике. Развить такие способности – задача вуза. С младших курсов студенты университета учатся проводить эксперименты, планировать их и строить математические модели. Одну из таких работ представляем в этом докладе.

Целью нашей работы является определение коэффициента вязкости жидкости и его зависимости от температуры. В качестве исследуемой жидкости использовался глицерин - органическое соединение, представитель предельных трехатомных спиртов.

Для проведения исследования необходимо: измерить коэффициент вязкости жидкости методом Стокса в зависимости от температуры и провести численный эксперимент с полученными данными на ЭВМ, результаты которого позволят определить зависимость вязкости жидкости от температуры без проведения дополнительных опытов в лабораторных условиях.

Получение результатов эксперимента

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, металлические шарики, микрометр, секундомер, миллиметровая линейка.

Проводим измерения для шести шариков разного диаметра при температурах: 23ºС, 40ºС, 56ºС, 66ºС. Для более точного исследования коэффициента вязкости жидкости методом Стокса повторяем опыты. Результаты измерений и вычислений заносим в таблицу 1 . По результатам каждого опыта вычисляем коэффициент вязкости по формуле:

(1)

Абсолютную погрешность измерений (полуширину доверительного интервала) находим по формуле:

,

где t_a,n =0,95(коэффициент Стьюдента)

Окончательный результат записываем в виде доверительного интервала h= <h> ± Dh c указанием значения a .

Таблица 1

l=	16	d, мм	t1, с	t2, c	tср, с	ŋi, Па*с	Δŋi=<ŋ>-ŋi, Па*с	Δŋi^2, Па^2*c^2	ρ глиц	Абс. погр. Δŋ	Отн. погр.ε
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
T1, °C=	23	1,1	7,71	7,77	7,74	0,20757	0,0129992	0,0001690	1268	0,005293	0,0239
		1,18	7,21	7,18	7,195	0,22337	-0,0028	0,0000078
		1,2	7,03	7,1	7,065	0,22524	-0,004669	0,0000218
		1,29	5,91	5,86	5,885	0,21882	0,0017469	0,0000031
		1,32	5,74	5,82	5,78	0,22253	-0,001959	0,0000038
		1,36	5,44	5,5	5,47	0,22387	-0,003304	0,0000109
		1,37	5,33	5,38	5,355	0,22258	-0,002014	0,0000041
	Ср. знач.	1,26	6,339		Сумма	0,22057	Сумма	0,0002205
T2, °C=	40	1,1	3,47	3,51	3,49	0,09349	0,0013933	0,0000019	1263	0,006087	0,0641
		1,18	3,07	3,12	3,095	0,09518	-0,000298	0,0000001
		1,2	2,72	2,67	2,695	0,08721	0,0076702	0,0000588
		1,29	2,61	2,62	2,615	0,09671	-0,001827	0,0000033
		1,32	2,59	2,57	2,58	0,10049	-0,005601	0,0000314
		1,36	2,56	2,52	2,54	0,10543	-0,010548	0,0001113
		1,37	2,05	2,01	2,03	0,08567	0,0092101	0,0000848
	Ср. знач.	1,26	2,724		Сумма постр. Дисп.	0,09488	Сумма	0,0002917
T3, °C=	56	1,1	2,83	2,87	2,85	0,07631	0,0019702	0,0000039	1258	0,004549	0,0581
		1,18	2,78	2,72	2,75	0,08626	-0,007981	0,0000637
		1,2	2,59	2,64	2,615	0,08311	-0,004833	0,0000234
		1,29	2,07	2,02	2,045	0,07676	0,0015159	0,0000023
		1,32	1,96	1,95	1,955	0,0761	0,0021751	0,0000047
		1,36	1,92	1,92	1,92	0,07913	-0,000858	0,0000007
		1,37	1,68	1,72	1,7	0,07026	0,0080114	0,0000642
	Ср. знач.	1,26	2,261		Сумма постр. Дисп.	0,07828	Сумма	0,0001629

Продолжение таблицы 1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
T4, °C=	64	1,1	1,17	1,12	1,145	0,03156	0,0006796	0,0000005	1255	0,00342	0,1062
		1,18	0,97	1,1	1,035	0,03011	0,0021303	0,0000045
		1,2	0,97	0,98	0,975	0,03114	0,001101	0,0000012
		1,29	0,93	0,96	0,945	0,0345	-0,002261	0,0000051
		1,32	0,92	0,95	0,935	0,03574	-0,003496	0,0000122
		1,36	0,9	0,82	0,86	0,03711	-0,00487	0,0000237
		1,37	0,61	0,57	0,59	0,02552	0,0067166	0,0000451
	Ср. знач.	1,26	0,924		Сумма постр. Дисп.	0,03224	Сумма	0,0000924

Построение математической модели исследуемого процесса

В результате проведения эксперимента был сделан вывод о том, что шарики большего диаметра затрачивают меньшее время на прохождение расстояния, а при повышении температуры жидкости времени затрачивается еще меньше, что объясняется уменьшением плотности жидкости [].

Для построения математической модели воспользуемся ортогональным планом двухфакторного эксперимента. Каждый фактор варьируется на трех уровнях (полный факторный эксперимент). В качестве факторов принимается: z1 – температура глицерина, z2 – диаметр шариков, а в качестве параллельных опытов: у1, у2 – время прохождения шариком расстояния между метками А и В.

Проверка воспроизводимости эксперимента (критерий Кохрена) показала, что при уровне значимости =0,05, G_{Кох.теор} = 0,64> G_Кох.оп = 0,52 гипотеза о равноточности измерений функции отклика не отвергается.

Основываясь на априорной информации (известно, что линейная модель не является адекватной), мы приняли решение описывать исследуемый процесс уравнением регрессии 2 порядка (таблица 2).

Используя метод наименьших квадратов, находим коэффициенты уравнения

Исследовав значимость коэффициентов функции, используя критерий Стьюдента, получили, что все коэффициенты значимы.

Проверка гипотезы об адекватности ММ (критерий Фишера) при уровне значимости показала, что опытное значение меньше теоретического, следовательно полученная модель адекватна.

Таблица 2

k=	3
n=	2		N=	9
m=	2		nb=	6
Матрица планирования
N	Уровни факторов				Параллельные опыты (m=2)		Ср.оп. Y	Постр.Дисп.
	натуральные		кодированные
	T1, °C	d, мм	X1	X2	у1,c	y2,c
1	40	1,18	-1	-1	3,07	3,12	3,095	0,000625
2	56	1,32	0	0	1,96	1,95	1,955	0,000025
3	64	1,36	1	1	0,9	0,82	0,86	0,001600
4	40	1,32	-1	0	2,59	2,57	2,58	0,000100
5	56	1,36	0	1	1,92	1,92	1,92	0,000000
6	64	1,18	1	-1	0,97	1,1	1,035	0,004225
7	40	1,36	-1	1	2,56	2,52	2,54	0,000400
8	56	1,18	0	-1	2,78	2,72	2,75	0,000900
9	64	1,32	1	0	0,92	0,95	0,935	0,000225

Рис.1.

Построив математическую модель исследуемого процесса, мы значительно упростили нахождение вязкости в зависимости от температуры, исключив необходимость проведения опыта в лаборатории.